מרובע עם זוויות ישרות הוא ... סכום של זוויות של מרובע

אחד הנושאים המעניינים ביותר על גיאומטריה מהקורס הספר הוא "Quadrangles" (כיתה ח '). אילו סוגים של נתונים כאלה קיימים, אילו תכונות מיוחדות יש להם? מה ייחודו של מרובעים עם זוויות של תשעים מעלות? בואו נסתכל על כל זה.

איזו דמות גיאומטרית נקראת מרובע

מצולעים, אשר מורכב מארבעה צדדים, בהתאמה, של ארבעה קודקודים (זוויות), נקראים quadrilaterals בגיאומטריה האוקלידית.

ההיסטוריה של שם של דמויות כאלה היא מעניינת. ברוסית, "ריבוע" העצם נוצר מן הביטוי "ארבע פינות" (באותו אופן כמו "משולש" - שלוש פינות, "מחומש" - חמש פינות, וכו ').

עם זאת, בלטינית (אשר באמצעות גישור מונחים גיאומטריים רבים הגיעו ברוב שפות העולם) זה נקרא מרובע. מילה זו נוצרת מתוך quadri ספרות (ארבע) ואת latus עצם (בצד). אז אנחנו יכולים להסיק כי עתיק זה מצולע נקרא רק "מרובע".

אגב, שם זה (עם הדגש על נוכחות של ארבעה צדדים, לא זוויות) בדמות זו נשמר בכמה שפות מודרניות. לדוגמה, באנגלית - מרובעת ובצרפתית - quadrilatère.

יחד עם זאת, ברוב השפות הסלאביות עדיין מזוהה מספר הדמויות המצויות במספר הזוויות, ולא על ידי הצדדים. לדוגמה, ב סלובקית (štvoruholník), ב בולגרית ("chetryriaglnik"), ב בלארוסית ("chatyrokhutnik"), באוקראינית ("chotirikutnik"), בצ 'כית (čtyřúhelník), אבל בפולנית מרובע נקרא על ידי מספר מפלגות - czworoboczny.

אילו סוגים של מרובעים נלמדים בתוכנית הלימודים בבית הספר

בגיאומטריה מודרנית ארבעה סוגים של פוליגונים עם ארבעה צדדים מובחנים. עם זאת, בגלל המאפיינים מסובך מדי של כמה מהם, רק שני מינים מוצגים בפני תלמידי כיתות בגיאומטריה.

• מקבילית (מקבילית). הצדדים הפוכים של מרובע הם מקבילים זווית אחד לשני, בהתאמה, הם גם זוג.
• טרפזיום (טרפזיום או טרפז). מרובע זה מורכב משני צדדים מנוגדים, מקבילים זה לזה. עם זאת, זוג אחר של מפלגות אין תכונה כזו.

סוגי quadrangles לא למד בקורס של בית הספר של גיאומטריה

בנוסף על האמור לעיל, ישנם שני סוגים נוספים של quadrangles כי תלמידים אינם מוצגים לשיעורים גיאומטריה, בשל המורכבות שלהם בפרט.

• הדלטיד (עפיפון) הוא דמות שבה כל אחד משני זוגות של הצדדים הסמוכים שווה באורך אחד לשני. השם של ריבוע זה נובע מהעובדה כי במראה זה דומה למדי למכתב של האלפבית היווני - "דלתא".
• Antiparallelogram - נתון זה מורכב בדיוק כמו שמו. בה, שני הצדדים מנוגדים שווים, אבל הם אינם מקבילים זה לזה. נוסף על כך, הצדיקים הפוכים הארוכים של מרובע זה מצטלבים, כמו ההמשכיות של שני הצדדים הקצרים יותר.

סוגי מקבילוגרמה

לאחר שטיפלנו בסוגים העיקריים של מרובעים, כדאי לשים לב לתת-המין שלה. לכן, כל מקבילים, בתורו, מחולקים גם לארבעה קבוצות.

• מקבילית קלאסית.
• Rhombus (רומבוס) הוא דמות מרובעת עם צדדים שווים. האלכסון שלו מצטלבים בזווית ישרה ומחלקים את היהלום לארבעה משולשים מלבניים שווים.
• מלבן. השם מדבר בעד עצמו. מכיוון שהוא מרובע עם זוויות ישרות (כל אחד מהם שווה ל -90 מעלות). משני צדיו לא רק מקבילים זה לזה, אלא גם שווים.
• מרובע (מרובע). כמו מלבן, זה מרובע עם זוויות ישרות, אבל כל הצדדים שווים זה לזה. נתון זה קרוב למעוין. אז אפשר לטעון כי ריבוע הוא צלב בין יהלום לבין מלבן.

מאפיינים מיוחדים של המלבן

בהתחשב בנתונים שבהם כל זווית בין הצדדים שווה ל -90 מעלות, כדאי להסתכל מקרוב על המלבן. אז, אילו תכונות מיוחדות יש לו להבדיל אותו מקבילים אחרים?

כדי לטעון שהקבילה המדוברת היא מלבן, האלכסון שלה חייב להיות שווה זה לזה, וכל אחת מהזוויות ישרה. בנוסף, הריבוע של האלכסון שלו חייב להתאים לסכום הריבועים של שני הצדדים הסמוכים של הדמות. במילים אחרות, המלבן הקלאסי מורכב משני משולשים מלבניים, ובתוכם, כידוע, סכום הריבועים של הרגליים שווה לכיכר ההיפוטנוס. בתפקידה של ההיפנוזה, מופיע האלכסון של המרובע המדובר.

האחרון של המאפיינים המפורטים של דמות זו היא גם רכוש מיוחד שלה. בנוסף, ישנם אחרים. לדוגמה, העובדה כי כל הצדדים של מרובע עם זוויות ישרות הוא בעת ובעונה אחת לגבהים שלה.

בנוסף, אם לצייר עיגול סביב כל מלבן, הקוטר שלה יהיה שווה אלכסון של דמות חרוט.

בין שאר המאפיינים של זה מרובע, העובדה כי הוא שטוח ב non-euclidean גיאומטרי אינו קיים. זאת משום שבמערכת זו אין דמויות מרובעות שסכום הזוויות שלהן הוא שלוש מאות שישים מעלות.

כיכר ותכונותיו

לאחר שהתמודד עם המאפיינים והמאפיינים של המלבן, כדאי לשים לב מרובע השני הידוע עם זוויות ישרות (זה ריבוע).

בהיותו למעשה אותו מלבן, אבל עם צדדים שווים, נתון זה יש את כל המאפיינים שלו. אבל בניגוד לה, הריבוע נמצא בגיאומטריה לא אוקלידית.

בנוסף, נתון זה, יש תכונות ייחודיות משלו. לדוגמה, העובדה כי האלכסונים של ריבוע הם לא פשוט שווה אחד לשני, אלא גם מצטלבים בזווית ישרה. כך, כמו יהלום, הריבוע מורכב מארבעה משולשים מלבניים, שאליהם הוא מחולק באלכסון.

בנוסף, נתון זה הוא סימטרי ביותר בין כל מרובעת.

מהו סכום זוויותיו של מרובע

בהתחשב הייחודיות של quadrilaterals של גיאומטריה אוקלידית, כדאי לשים לב זוויות שלהם.

לכן, בכל אחד מהדמויות הנ"ל, בין אם יש לו זוויות ישרות ובין אם לאו, הסכום הכולל שלהן הוא תמיד זהה - שלוש מאות שישים מעלות. זוהי תכונה ייחודית של סוג זה של דמות.

היקף של quadrilaterals

לאחר שעסקנו במה הוא סכום הזוויות של תכונות מרובע ותכונות מיוחדות אחרות של דמויות מסוג זה, כדאי לברר אילו נוסחאות משמשות בצורה הטובה ביותר לחישוב שטחן ואזורן.

כדי לקבוע את ההיקף של כל מרובע, אתה רק צריך להוסיף את אורך כל הצדדים שלה.

לדוגמה, בדמות KLMN ההיקף שלה ניתן לחשב לפי הנוסחה: P = KL + LM + MN + KN. אם נחליף את המספרים כאן, נקבל: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

במקרה שבו הדמות המדוברת היא מעוין או ריבוע, כדי למצוא את ההיקף, ניתן לפשט את הנוסחה על ידי הכפלת אורך אחד הצדדים על ידי ארבעה: P = KL x 4. לדוגמה: 6 x 4 = 24 (cm).

נוסחאות מרובע מרובע

לאחר שטיפל כיצד למצוא את הדמות של כל דמות עם ארבע פינות הצדדים, כדאי לשקול את הדרכים הנפוצות ביותר ופשוט למצוא את השטח שלה.

• הדרך הקלאסית של חישוב זה היא להשתמש בנוסחה S = 1/2 ק"מ x LN x SIN LON. מתברר כי השטח של כל מרובע שווה חצי מוצר של אלכסונים שלה על ידי הסינוס של הזווית ממוקם ביניהם.
• אם הדמות שאת השטח שלה אתה רוצה למצוא הוא מלבן או ריבוע (באלכסונים תמיד שווים זה לזה), אתה יכול לפשט את הנוסחה על ידי מתיחה של אורך אחד אלכסונית והכפלת אותו על ידי הסינוס של הזווית ביניהם ומחלק את הכל לשניים. לדוגמה: S = 1/2 KM ² x SIN LON.
• כמו כן, כאשר מציאת שטח של מלבן, מידע על המערכת של הדמות המדוברת ואת אורך אחד הצדדים שלה יכול לעזור. במקרה זה, זה יהיה הכי נוח להשתמש בנוסחה S = KN x (P - 2 KN) / 2.
• במקרה של ריבוע, המאפיינים שלה מאפשרים לנו להשתמש במספר נוסחאות נוספות כדי למצוא את האזור. לדוגמה, אם אתה יודע את היקפה של דמות, תוכל להשתמש באפשרות זו: S = P ² / 16. ואם ברדיוס של מעגל חרוט מרובע ידוע, הריבוע של הריבוע הוא דומה מאוד: S = 4r ² . אם רדיוס המעגל המוגדר ידוע, נוסחה נוספת מתאימה: S = 2R ² . כמו כן, שטח הריבוע הוא פי 0.8 מאורכו של הקו הנמשך מזווית הדמות לאמצע הצד הנגדי.
• בנוסף לכל האמור לעיל, קיימת גם נוסחה נפרדת למציאת השטח, המחושבת במיוחד עבור המקביל. ניתן להשתמש בו, אם ידוע, באורך של שני גבהים של הדמות וגודל הזווית ביניהם. אז יש להכפיל את הגבהים בינם לבין הסינוס של הזווית ביניהם. ראוי לציין כי ניתן להשתמש נוסחה זו עבור כל הדמויות הקשורות מקבילים (כלומר, מלבן, מעוין ריבוע).

תכונות אחרות של quadrangles הם חרוט מעגלים מוגבל

לאחר שקול את התכונות ואת המאפיינים של quadrangle כדמות של גיאומטריה אוקלידית, כדאי לשים לב לאפשרות של תיאור סביב או inscribing מעגלים בתוכו:

• אם הסכומים של הפינות המנוגדות של הדמות הם מאה ושמונים מעלות והם שווים שווה, ואז סביב זה מרובע אחד יכול לתאר בחופשיות מעגל.
• לפי משפט של תלמי, אם מעגל מתואר מחוץ לצולע עם ארבעה צדדים, אזי תוצר האלכסון שלה שווה לסכום של מוצרים משני צדי הדמות. לכן, הנוסחה תיראה כך: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• אם נבנה מרובע שבו הסכומים של הצדדים הנגדיים שווים זה לזה, אז אפשר לחרוט עליו מעגל.

לאחר שעסקנו במה הוא מרובע, אילו סוגים קיימים, למי מהם יש רק זוויות ישירות בין הצדדים ואיזה תכונות יש להם, כדאי לזכור את כל החומר הזה. בפרט, את הנוסחאות למציאת היקפה ואת השטח של הפוליגונים שנבדקו. אחרי הכל, דמויות של טופס זה - אחד הנפוצים ביותר, ואת הידע הזה יכול להיות שימושי עבור חישובים בחיים האמיתיים.