מספרים נגזר: שיטות חישוב ודוגמאות

אולי הרעיון של נגזרת היא מוכרת לכולנו מאז התיכון. בדרך כלל התלמידים מתקשים להבין זה הוא ללא ספק דבר חשוב מאוד. הוא משמש באופן פעיל בתחומים שונים של חייהם של אנשים, והנדסה רבה התבססו דווקא על חישובים מתמטיים שהשיגו הנגזרת. אבל לפני שתמשיך ניתוח מה הוא נגזרת של המספרים כפי שהם לחשב ואיפה הם יוכלו להועיל, להתעמק קצת לתוך ההיסטוריה.

סיפור

המושג נגזר, אשר מהווה את הבסיס של ניתוח מתמטי, היה פתוח (אפילו טוב יותר לומר "המציא" בגלל זה הוא, וככזה, אינו קיים בטבע) Isaakom Nyutonom, אשר כולנו יודעים מגילוי החוק הכביד. זה היה הוא הראשון שהשתמש במושג זה בפיזיקה עבור אופייה המחייב של מהירות ותאוצה של גופים. ומדענים רבים עדיין לשבח ניוטון עבור ההמצאה המופלאה הזו, כי למעשה הוא המציא את בסיס דיפרנציאלי ואינטגרלי, התשתית העובדתית של השדה כולו מתמטי הנקרא "ניתוח מתמטי". אם בזמנו בפרס נובל, ניוטון סביר היה מקבל את זה כמה פעמים.

לא בלי מוחות גדולים אחרים. בנוסף ניוטון על פיתוח של גאונים הנודע כגון עבד נגזרת ואינטגרל של המתמטיקה כמו לאונרד אוילר, לגראנז ולואי גוטפריד Leybnits. זה בזכות אותם יש לנו את התאוריה של חשבון דיפרנציאלי בצורה שבה הוא קיים עד עצם היום הזה. אגב, זה לייבניץ גילה את המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת, אשר היה לא יותר מאשר את השיפוע של המשיק לגרף של הפונקציה.

מה היא נגזרת של מספרים? חוזר Bit מה שהתרחש בבית הספר.

מהי נגזר?

הגדר את המושג הזה במספר דרכים שונות. ההסבר הפשוט ביותר: הנגזרים - זה שיעור פונקצית שינוי. לייצג את הגרף של כל פונקציה y של x. אם זה לא ישר, יש לו כמה עקומות בגרף, בתקופות של עלייה וירידה. אם אתה לוקח שום מרווח זעיר של לוח הזמנים, זה יהיה קטע קו ישר. אז, היחס בין הגודל של קטע זעיר של y לגודל של x לתאם, ויהיה נגזר של הפונקציה בנקודה מסוימת. אם ניקח בחשבון את הפונקציה כמכלול, ולא בנקודה ספציפית, נקבל פונקציה של נגזרות, כלומר תלות מסוימת על y X.

בנוסף, מלבד המשמעות הפיזית של הנגזר כפונקציה של קצב השינוי, יש גם תחושה גיאומטרית. ביום זה, אנו דנים בו עכשיו.

המשמעות הגיאומטרית

מספרים נגזר עצמם מספר מסוים כי הוא לא הבנה נכונה אינה נושא כל משמעות. מתברר כי הנגזר אינו רק מציג את שיעור הצמיחה או להקטין את הפונקציה, ואת השיפוע של משיק לגרף של הפונקציה בנקודה זו. לא לגמרי הגדרה ברורה. הבה נבחן את זה בפירוט. נניח שיש לנו גרף של פונקציה (לקחת בעקום הריבית). יש מספר אינסופי של נקודות, אבל יש תחומים שבהם נקודה אחת בלבד יש מקסימום או מינימום. דרך בכל נקודה כזו, אתה יכול לצייר קו ישר, אשר יהיה בניצב הגרף של הפונקציה בנקודה זו. קו זה ייקרא משיק. אניח שאנחנו הרמנו אותו עד לצומת עם שור הציר. אז השיג בין המשיק ואת OX הציר והזווית ייקבע על ידי הנגזרת. באופן ספציפי יותר, המשיק של זווית זו יהיה שווה את זה.

בוא נדבר קצת על מקרים מסוימים ונגזרים הבה נבחן את המספרים.

במקרים מיוחדים

כפי שכבר הזכרנו, נגזרות של מספרים - ערך נגזר בנקודה מסוימת. הנה, למשל, לקחת את הפונקציה y = x ^2. הנגזרת של x - מספרים, אבל באופן כללי - פונקציה שווה x * 2. אם אנחנו צריכים לחשב את הנגזרת, למשל, בנקודה x ₀ = 1, נקבל y "(1) = 2 * 1 = 2. זה פשוט מאוד. מקרה מעניין הוא נגזר של מספר מרוכב. כדי להיכנס להסבר מפורט על מה מספר מורכבים, לא נעשה זאת. די אם אומר כי מספר זה המכיל את היחידה מדומה שנקראה - מספר המרובע שאת שווה -1. החישוב של נגזרת זו אפשרי רק בתנאים הבאים:

1) בטח יש נגזרות חלקיות מסדר ראשון של חלקים אמיתיים ומדומים של y ו- X.

2) התנאים של הקושי-רימן הקשורים לשוויון חלקי שתואר בפסקה הראשון.

עוד מקרה מעניין, אם כי לא מסובך כמו לקודמו, הוא נגזר של מספר שלילי. למעשה, כל מספרים שליליים יכולים להיות מיוצגים בתור חיובי, מוכפל -1. ובכן, הנגזר לבין הפונקציה הקבועה שווה קבוע מוכפל הנגזר של הפונקציה.

יהיה מעניין ללמוד על התפקיד של נגזרים בחיי היומיום שלהם, וזה עכשיו ולדון בו.

יישום

כנראה כל אחד מאתנו לפחות פעם בחיים תופסים את עצמי חושב כי במתמטיקה לא סביר שיהיה שימושי לו. וזה דבר מסובך כגון נגזרות מן הסתם אין לו שימוש. למעשה, את המתמטיקה - המדע בסיסי, וכל פרותיה מפתחים בעיקר פיסיקה, כימיה, אסטרונומיה ואפילו הכלכלה. נגזר סמן את תחילתה של ניתוח מתמטי, אשר נתנה לנו את ההזדמנות כדי להסיק מסקנות מן הגרפים של פונקציות, ו למדנו לפרש את חוקי הטבע ולהפוך אותם לטובתם בגלל זה.

מסקנה

כמובן, לא כל אחד יכול להיות שימושי כדי הנגזר בחיים אמיתיים. אבל מתמטיקה מפתחת ההיגיון כי בוודאי צריך. לא לחינם כי המתמטיקה נקראת מלכת המדעים: זה מורכב הבנה בסיסית של שדות אחרים של ידע.