חשבון דיפרנציאלי של פונקציות של אחד המשתנים מספר

חשבון דיפרנציאלי הוא ענף של אנליזה מתמטית, אשר בוחנת את הנגזרת, הפרשים והשימוש בם בחקר פונקציות.

הסיפור של

חשבון דיפרנציאלי יצא כדיסציפלינה עצמאית במחצית השנייה של המאה ה -17, הודות לעבודה של ניוטון ולייבניץ, מי שניסח את כללי היסוד בחישוב הפרשי והבחין הקשר בין אינטגרציה וגזירה. מאז משמעת הוא פתח יחד עם החישוב אינטגרלים, ולפיכך מהווה בסיס הניתוח המתמטי. הופעת calculi אלה נפתחה תקופה מודרנית חדשה בעולם המתמטי וגרמה הופעתה של דיסציפלינות חדשות במדע. כמו כן האריך את האפשרות של החלת מתמטיקה במדעים ובהנדסה הטבעיים.

מושגים בסיסיים

חשבון דיפרנציאלי מבוסס על מושגי היסוד של המתמטיקה. הם: מספר, אמיתי משכיות ולהגביל של פונקציה. לאחר זמן, הם לקחו מראה מודרני, הודות אינטגרלי חצץ ואת ההפרש.

התהליך של יצירת

גיבוש של חשבון דיפרנציאלי בצורת בקשה, ולאחר מכן השיטה המדעית התרחש לפני הופעתה של תיאוריה פילוסופית, אשר נוצרה על ידי ניקולאי Kuzansky. עבודתו נחשבת פיתוח אבולוציוני מן המדע העתיק של פסק דין. למרות העובדה כי הפילוסוף עצמו לא היה מתמטיקאי, תרומתו להתפתחות המדע מתמטי לא מוטלת בספק. Cusa, אחד מתוך הראשון של התמורה של האריתמטיקה כמדע מדויק ביותר, מתמטיקה לשים את הזמן בסימן שאלה.

בשנת מתמטיקאים עתיקים קריטריון אוניוורסלי היה יחיד, ואילו הפילוסוף המוצע בתור אינסוף מדד חדש להחזיר את המספר המדויק. בקשר עם ייצוג המהופך הזה של הדיוק במדע המתמטיקה. ידע מדעי, לדעתו, מחולק רציונלים ואינטליגנטיים. השני הוא יותר מדויק, על פי המדען, מאז לשעבר נותן תוצאות משוערות בלבד.

רעיון

הרעיון הבסיסי ואת הרעיון של חשבון דיפרנציאלי הקשורים בתפקוד בשכונה קטנה של נקודות מסוימות. לשם כך יש צורך ליצור מנגנון מתמטי לתפקד מחקרים שהתנהגותם בשכונה קטנה של נקודות המותקנות קרוב ההתנהגות של פונקציה ליניארית או פולינום. בהתבסס על הגדרה זו של נגזרי הפרש.

הופעתם של המושג של הנגזר נגרם על ידי מספר גדול של בעיות של מדעי הטבע ומתמטיקה, אשר הוביל את הנחישות של ערכי גבול מאותו סוג.

אחת המשימות העיקריות שניתנות כדוגמא, החל כיתות בית הספר הוותיקות ביותר, הוא לקבוע את מהירות תנועה של נקודה בקו ישר ואת הבנייה של הקו המשיק עקומה זו. פער זה קשור, זאת משום שניתן לבצע קירוב פונקציה בשכונה קטנה של נקודת פונקציה ליניארית.

בהשוואה למושג נגזרת של פונקציה של משתנה ממשי, בהגדרת הפרשי פשוט עובר על פונקציה של אופי כללי, ובפרט את התמונה של מרחב אוקלידי למשנהו.

נגזר

תנו מהלכים נקודה בכיוון של ציר ה- Y, בפעם ניקח x, אשר נמדד מתחילת רגע. תאר תנועה כזו היא אפשרית על ידי הפונקציה y = f (x), אשר קשורים זה x נקודת זמן לתאם נקודת displaceable. שיחת פונקציה זו במכניקה לקחת חוק התנועה. המאפיין העיקרי של התנועה, במיוחד לא אחידה, הוא המהירות המיידית. כאשר הנקודה מועברת לאורך ציר y פי החוק של מכניקה, נקודת הזמן האקראית אותו רוכש לתאם x f (x). בשנת הזמן הנקודה x + Δh, שבו Δh מייצג את תוספת הזמן, זה יהיה kordinaty f (x + Δh). לפיכך התגבשה נוסחה Δy = f (x + Δh) - f (x), אשר נקרא פונקציה תוספת. זוהי נקודה של השביל החוצה בזמן מ- X ל- x + Δh.

בקשר עם התרחשות של מהירות על נגזרת הזמן מנוהל. הנגזרת של כל פונקציה בנקודה קבועה קרוי הגבול (בהנחה שהוא קיים). זה יכול להיות מכונה תווים מסוימים:

f '(x), y', y, DF / DX, dy / dx, DF (x).

תהליך החישוב הנגזר של בידול שיחה.

חשבון דיפרנציאלי של פונקציות של מספר משתנים

שיטה זו מיושמת בעת חישוב מחקר פונקציה, מספר משתנה. כאשר ישנם שני משתנים x ו- y, הנגזר חלקית ביחס x בבית נקודה נקראת נגזרת של פונקציה זו ב x עם y קבוע.

ניתן להצביע על ידי הסמלים הבאים:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x ו ∂f (x, y) "/ ∂x.

מיומנויות נדרשות

כדי ללמוד בהצלחה ולהיות מסוגל לפתור מיומנויות הנדרשות diffury ב אינטגרציה וגזירה. כדי לעשות את זה קל יותר להבין את משוואות דיפרנציאליות, יש להבין בנושא נגזרים ללא הגבלת זמן נפרד. גם לא כואב ללמוד להסתכל על הנגזרת של הפונקציה הסתומה. זאת בשל העובדה כי בתהליך של למידה תשתמש לרוב אינטגרלים והבחנה.

סוגי משוואות דיפרנציאליות

כמעט כל עבודה מלאה הקשורים משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, ישנם 3 סוגים של משוואות: הומוגנית, עם משתנים נפרדים, ליניארי הומוגניות.

ישנם גם יותר משוואות מינים נדירות עם הפרשים כולל, המשוואה של ברנולי, ואחרים.

פתרונות יסודות

ראשית, אנו צריכים לזכור הוא משוואה אלגברית של קורס בבית הספר. הם מכילים המשתנים ומספרים. על מנת לפתור את המשוואה המקובלת צריך למצוא שפע של מספרים כי עמיד בתנאי שצוין. בדרך כלל, משוואות אלה יש שורש אחד, ועבור אימות צריך רק להחליף את הערך הזה למקומו ידוע.

המשוואה הדיפרנציאלית דומה לזה. באופן כללי, משוואה מהמעלה הראשונה כוללת:

• משתנה בלתי תלוי.
• נגזרת של הפונקציה הראשונה.
• פונקציה או משתנה תלוי.

במקרים מסוימים, ייתכנו אף אחד לא ידוע, X או Y, אבל זה לא חשוב כמו זה הכרחי כדי לקבל את הנגזרת הראשונה, ללא נגזרים מסדר גבוהים לפתרון ואת חשבון דיפרנציאלי היו נכונים.

לפתור משוואות דיפרנציאליות - זה אומר למצוא את הסט של כל הפונקציות כי הם ביטוי נתון מתאים. סטים כאלו של פונקציות נקראים לעתים קרובות את שליטת הפתרון הכללית.

אינטגרלי חצץ

אינטגרלי חצץ הוא אחד הסעיפים של ניתוח מתמטי, אשר בוחן את המושג נפרד, מאפיינים ושיטות החישוב שלה.

לעתים קרובות החישוב הנפרד מתרחש בעת חישוב השטח של צורה מפותלת. בדרך זו באזור גבול, אשר לקראתו אזור מוגדר מראש של צורה מצולע ועליו עלייה הדרגתית ידו, ואת צד הנתונים עשוי להיות פחות מאשר כל ערך קטן שרירותי שצוין קודם לכן.

הרעיון המרכזי בחישוב השטח של כל צורה גיאומטרית חישוב השטח של מלבן, אז יש ראיות כי שטחו שווה למכפלה של האורך ידי הרוחב. כשמדובר גיאומטריה, אז כל המבנים מתבצעים בעזרת סרגל ומצפן, ואז היחס בין אורך לרוחב הוא ערך רציונלים. כאשר חישוב שטח של משולש ישר זווית ניתן לקבוע כי אם תשים משולש הבא, מלבן נוצר. בתחום של המקבילית מחושבות בשיטה דומה אך מעט יותר מסובכת, בתוך מלבן ומשולש. בתחום מצולע נחשב על ידי משולשים הכלולים בו.

בקביעת הרחמים של שרירותיות, שיטה זו אינה תואמת את העקומה. אם אנו לשבור אותו לריבועים בודדים, הוא יישאר במקומות ללא מילוי. במקרה זה, נסה להשתמש בשתי שכבות, עם מלבנים מעל ומתחת, כתוצאה מאותם כוללים את הגרף של הפונקציה ואינו כולל. חשוב כאן הוא דרך לשבור מלבנים אלה. כמו כן, אם ניקח את ההפסקה יותר ויותר מופחתות, באזור העליון והתחתון צריך להתכנס על ערך מסוים.

זה צריך לחזור שיטה להפרדה למלבנים. ישנן שתי שיטות פופולריות.

רימן עוגן הגדרה של אינטגרל, נוצר על ידי לייבניץ וניוטון, כמו בתחום subgraph. במקרה זה, אנו נחשבים לדמות מורכבים של מספר מסוים של מלבנים אנכיים מתקבלים על ידי חלוקת המרווח. כאשר שבירת ירידה יש גבול עד אשר באזור המופחת של דמות כזו, מגבלה זו נקרא אינטגרלית רימן של פונקציה במרווח מסוים.

שיטה שנייה היא לבנות את אינטגרל לבג, מורכב בעובדה במקום הפרדה מיועדת לאזור על חלק מִסתַכֶּמֶת קומפילציה אז הסכום הנפרד של הערכים שהתקבלו במקומותינו, במרווחים מחולקים מגוון של ערכים, ולאחר מכן סכם עם האמצעים המתאימים התמונות ההופכי של אינטגרלים אלה.

עזר מודרני

אחד היתרונות העיקריים לחקר Fikhtengol'ts דיפרנציאלי ואינטגרלי כתב - "של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי." הלימוד שלו הוא כלי בסיסי לחקר ניתוח מתמטי, אשר עמד מהדורות ותרגומים רבים לשפות אחרות. נוצר לסטודנטים במשך זמן רב בשימוש במגוון מוסדות חינוך כאחד היתרונות העיקריים של המחקר. זה נותן מידע תיאורטי ומיומנויות מעשיות. פורסם לראשונה ב 1948.

פונקצית מחקר אלגוריתם

כדי לחקור את השיטות של פונקצית חשבון דיפרנציאלי, אתה צריך לבצע ניתן כבר אלגוריתם:

1. מצא את התחום של הפונקציה.
2. מצא את השורשים של המשוואה הנתונה.
3. חשב את הקצוות. לשם כך, אנו מחשבים את הנגזרת ואת הנקודה שבה זה שווה אפס.
4. אנחנו מחליפים את הערך המתקבל ב EQ.

זנים של משוואות דיפרנציאליות

בקרה של הצו הראשון (אחר, חשבון דיפרנציאלי של משתנה אחד) והסוגים שלהם:

• עם המשוואה משתנים נפרדים: f (y) dy = g (x) dx.
• פונקצית תחשיב המשוואה או הפרש הפשוטה של משתנה אחד, בעל הנוסחא: y "= f (x).
• השליטה nonuniform ליניארית מסדר ראשון: y "+ P (x) y = Q (x).
• משוואה דיפרנציאלית ברנולי: y "+ P (x) y = Q (x) y א.
• למשוואת הפרשים הכולל עם: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

משוואות דיפרנציאליות מסדר שני הסוגים שלהם:

• משוואה דיפרנציאלית מסדר שני ליניארית הומוגנית עם ^{מקדמים קבועים: y n + py "+ QY} = 0 p, q שייך ר
• הומוגניות משוואה דיפרנציאלית לינארית מסדר שני עם מקדמים קבועים ^{ערך: y n + py "+ QY} = f (x).
• ^משוואה דיפרנציאלית לינארית ^{הומוגנית: y n + p (x)} y '+ Q (x) y = 0, ו ^{המשוואה} מסדר שני ^{הומוגניות: y n + p (x)} y' q + (x) y = f (x).

משוואות דיפרנציאליות של הזמנות גבוהות והסוגים שלהם:

• המשוואה הדיפרנציאלית, המאפשרת הפחתה של ^{סדר: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• משוואה ליניארית של ^{_{הומוגניות}} מסדר ^{_{גבוה: y (n) + F (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + F ₁ y "+ F ₀ y = 0, ו ^{_{הומוגניות: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + F ₁ y "+ F ₀ y = f (x).

שלבי פתרון הבעיה עם משוואה דיפרנציאלית

בעזרת שלט רחוק נפתרות לא רק במתמטיקה או בעיות פיזיות, אלא גם את הבעיות השונות של ביולוגיה, כלכלה, סוציולוגיה ועוד. למרות המגוון הרחב של נושאים, צריך להיכתב ברצף היגיון יחיד לפתרון בעיות אלה:

1. הכנה מלאה. אחד השלבים הקשים ביותר, אשר דורש דיוק מרבי, כי כל טעות תביא תוצאות טועות לחלוטין. יש צורך לקחת בחשבון את כל הגורמים המשפיעים על התהליך ולקבוע תנאים ראשוניים. ראוי גם להתבסס על עובדות מסקנות הגיוניות.
2. לפתרון משוואות. תהליך זה הינו קל עד לנקודה הראשונה, שכן הוא דורש ביצוע קפדני רק של חישובים מתמטיים.
3. ניתוח והערכה של התוצאות. פתרון נובע יש לבחון עבור ההתקנה של ערך מעשי ותיאורטי של התוצאה.

דוגמא לשימוש של משוואות דיפרנציאליות ברפואה

שימוש בשלט הרחוק בתחום הרפואה נמצא בבניית מודל מתמטי אפידמיולוגיים. אל לנו לשכוח כי משוואות אלה מצויות גם ביולוגיה וכימיה, אשר קרוב הרפואה, משום שהוא ממלא תפקיד חשוב בחקר אוכלוסיות ביולוגיות שונות ותהליכים כימיים בגוף האדם.

בדוגמא זו, התפשטות המגיפה ניתן לטפל בזיהום בקהילה מבודדת. התושבים מתחלקים לשלושה סוגים:

• Infected, מספר x (t), אשר כלל אנשים, ספקים זיהומיות, שכל אחד מהם הוא זיהומיות (תקופת דגירה הוא קצר).
• הסוג השני כולל y אנשים רגישים (t), יכול להידבק במגע עם נגועים.
• הסוג השלישי כולל עקשנים יחידים z (t), אשר יהיו חסינים או אבד בשל מחלה.

מספר האנשים כל זמן, שמירת לידה, מוות והגירה טבעיים אינו נחשב. בליבה יהיו שתי השערות.

מחלה אחוז בשלב מסוים זמן שווה x (t) y (t) (הנחה מבוססת על התאוריה כי מספר המקרים ביחס למספר צמתים בין מטופלים ובני קשוב, אשר הקירוב הראשון הוא יחסי x (t) y (t)), ב ולכן מספר המקרים גדל, ומספר הירידות רגישות בקצב אשר מחושב על ידי גרזן הנוסחא (t) y (t) (א> 0).

מספר בעלי חיים שלא הגיב כי מת או רכש חסינה, גדלו בקצב שבו הוא יחסי למספר מקרים, BX (t) (b> 0).

כתוצאה מכך, אתה יכול להקים מערכת של משוואות עם כל שלושת המדדים על בסיס מסקנותיה.

כלכלה השתמש בדוגמה

חשבון דיפרנציאלי קרובות משמש ניתוח כלכלי. המשימה העיקרית של הניתוח הכלכלי נחשבת ללימוד ערכי הכלכלה, אשר נרשמים בצורה של הפונקציה. הוא משמש לפתרון בעיות כגון שינויי העלאות מס הכנסה מייד אחרי, דמי כניסה, שינויים בהכנסות בעת שינוי הערך של המוצר, במה פרופורציה יכולה להיות מוחלפות על ידי עובדים שפרשו עם ציוד חדש. כדי לפתור בעיות כאלה, הוא נדרש לבנות פונקצית תקשורת המשתנים נכנס, אשר, לאחר נחקרו על ידי חשבון דיפרנציאלי.

לעתים קרובות יש צורך למצוא את הביצועים האופטימליים ביותר בתחום הכלכלי: יעילות מקסימלית, ההכנסה הגבוהה ביותר, עלות לפחות וכן הלאה. כל מרכיב כזה הוא פונקציה של טיעונים אחד או יותר. לדוגמא, יכול להיחשב הייצור כפונקציה של עבודה והון. בהקשר זה, מציאת ערך מתאים יכול להיות מופחת למציאת המקסימום או המינימום של פונקציה של משתנה אחד או יותר.

בעיות מסוג זה ליצור מחלקה של בעיות extremal בתחום הכלכלי, שבהם אתה צריך חשבון דיפרנציאלי. כאשר אינדיקטור הכלכלי נדרש כדי למזער או למקסם כפונקציה של פרמטרים אחרים, הפונקציה בנקודת מקסימום יחס תוספת לטענות תטה אפס אם התוספת של הטיעון נוטה לאפס. אחרת, כאשר יחס כזה נוטה ערך חיובי או שלילי מסוים, הנקודה המצוינת אינה מתאימה, כי על ידי הגדלה או הקטנת הטיעון ניתן לשנות ערך תלוי בכיוון הרצוי. בטרמינולוגית חשבון דיפרנציאלי, זה אומר כי התנאים הנדרשים לתפקוד מרבי הוא ערך אפס של הנגזרת שלה.

הכלכלה היא לא בעיה נדירה של מציאת קיצון של פונקציה של מספר משתנה, כי האינדיקטורים כלכליים הם מורכבים מגורמים רבים. בעיות כאלה הם הבינו היטב את התיאוריה של פונקציות של מספר משתנים, שיטת חישוב ההפרש. בעיות אלה כוללות לא מוגדלות בלבד ממוזער פונקציה, אלא גם מגבלות. שאלות אלה נוגעות תכנות מתמטי, והם נפתרים בעזרת שיטות שפותחו במיוחד מבוססים גם על ענף זה של מדע.

בין השיטות של חשבון דיפרנציאלי בשימוש במשק, קטע חשוב הוא המבחן האולטימטיבי. בתחום הכלכלי, המונח מתייחס לקבוצה של שיטות המחקר של ביצועים משתנים ותוצאות כאשר אתה משנה את עוצמת הקול של יצירה, הצריכה, המבוסס על ניתוח של ערכי הגבול שלהם. הגבלת לוואי הנחשבות אינדיקציה או נגזרות חלקיות עם מספר משתנים.

חשבון דיפרנציאלי של מספר משתנים - נושא חשוב של ניתוח מתמטי. עבור מחקר מפורט, אתה יכול להשתמש במגוון של עזרי הוראה למוסדות להשכלה גבוהה. אחד Fikhtengol'ts נוצר המפורסם ביותר - "של חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי." כמה השם לפתרון משוואות דיפרנציאליות חשיבות רבה יש את הכישורים לעבוד עם אינטגרלים. כשיש חשבון דיפרנציאלי של פונקציות של משתנה אחד, ההחלטה הופכת קלה יותר. אמנם, יש לציין, המסקנה היא זהה כללים בסיסיים. בפועל, כדי לחקור את הפונקציה של חשבון דיפרנציאלי, פשוט בצע את האלגוריתם קיים כבר, אשר ניתן בתיכון, ורק קצת מסובך עם כניסתה של משתנים חדשים.