מהי סימטריה במתמטיקה? הגדרה ודוגמאות

כדי להבין מה הסימטריה היא במתמטיקה, יש צורך להמשיך לשלוט על נושאים בסיסיים מתקדמים של אלגברה וגיאומטריה. כמו כן, חשוב להבנת ניסוח, ארכיטקטורה, כללים לבניית ציור. למרות הקשר ההדוק עם המדע המדוייק ביותר, הסימטריה חשובה לאמנים, לאמנים, ליוצרים ולמעורבים בפעילות מדעית ובכל תחום.

מידע כללי

לא רק המתמטיקה, אלא גם מדעי הטבע מבוססים במידה רבה על מושג הסימטריה. יתר על כן, זה מתרחש בחיי היומיום, הוא אחד הבסיסיים לטבע היקום שלנו. הבנת מה סימטריה במתמטיקה, יש לציין כי ישנם מספר סוגים של תופעה זו. נהוג לדבר על אופציות כאלה:

• דו צדדי, כלומר, כאשר הסימטריה משתקפת. תופעה זו בסביבה האקדמית נקראת בדרך כלל "דו-צדדית".
• סדר Nin. עבור מושג זה, תופעת המפתח היא זווית הסיבוב, מחושב על ידי חלוקת 360 מעלות לפי ערך מסוים. בנוסף, הציר נקבע מראש שסביבו נעשים סיבובים אלה.
• פאדיאלי, כאשר תופעת סימטריה הוא ציין, אם סיבובים נעשים שרירותית בזווית אקראית כלשהי. הציר נבחר גם באופן עצמאי. כדי לתאר תופעה זו, קבוצת SO (2) משמשת.
• כדורי. במקרה זה אנו מדברים על שלושה ממדים שבהם האובייקט מסובב, תוך בחירת זוויות שרירותיות. מקרה ספציפי של איזוטרופיה הוא נבחר כאשר התופעה הופכת מקומית, אופיינית של המדיום או החלל.
• סיבוב, שילוב של שתי הקבוצות שתוארו קודם לכן.
• לורנץ הוא קבוע כאשר סיבובים שרירותיים להתרחש. עבור סוג זה של סימטריה, מושג המפתח הוא "מרחב זמן של מינקובסקי".
• סופר, שהוגדר כהחלפת בוזונים על ידי פרמיונים.
• הגבוה ביותר, נחשף במהלך ניתוח הקבוצה.
• תרגום, כאשר יש משמרות בחלל, אשר מדענים לזהות כיוון, מרחק. על בסיס הנתונים המתקבלים נעשה ניתוח השוואתי המאפשר חשיפה לסימטריה.
• כיול, שנצפה במקרה של עצמאות של תורת מד תחת שינויים הולמים. כאן, תשומת לב מיוחדת היא שילמה תיאוריית השדה, כולל התמקדות ברעיונות של יאנג מילס.
• Kayno, השייכים למעמד של תצורות אלקטרוניות. על מה זה סימטריה, מתמטיקה (כיתה 6) אין ייצוג, כי זה מדע סדר גבוה יותר. התופעה נובעת מהתקופות המשניות. הוא התגלה במהלך עבודתו המדעית של א 'בירון. המינוח הוצג על ידי ש 'Shchukarev.

מראה

במהלך הלימודים, התלמידים מתבקשים כמעט תמיד לעשות את העבודה "סימטריה סביבנו" (פרויקט במתמטיקה). ככלל, מומלץ ליישום בכיתה ו 'של בית ספר רגיל עם תוכנית כללית של מקצועות ההוראה. כדי להתמודד עם הפרויקט, יש צורך קודם להכיר את מושג הסימטריה, בפרט, כדי לגלות מהו סוג המראה כאחת הבסיסית והמובנת ביותר עבור ילדים.

כדי לזהות את תופעת הסימטריה, לשקול דמות גיאומטרית מסוימת, וגם לבחור מטוס. מתי הם מדברים על הסימטריה של האובייקט הנדון? ראשית, נקודה נבחרת על זה, ואז זה משתקף על זה. בין שני מהם לבלות קטע ולחשב, באיזו זווית על המטוס שנבחר בעבר הוא עובר.

מציאת מה סימטריה במתמטיקה, זכור כי המטוס שנבחר לחשיפת תופעה זו ייקרא המטוס של סימטריה בשום דרך אחרת. הקו המצויר חייב לחצות אותו בזווית ישרה. המרחק מהנקודה למישור זה וממנו לנקודה השנייה של הקטע חייב להיות שווה.

ניואנסים

מה עוד מעניין אתה יכול ללמוד על ידי ניתוח של תופעה כזו כמו סימטריה? המתמטיקה (כיתה 6) מספרת לנו ששתי דמויות, הנחשבות לסימטריות, אינן בהכרח זהות זו לזו. מושג השוויון קיים במובן צר ורחב. לכן, האובייקטים הסימטריים בצמצם אינם אותו דבר.

מהי הדוגמה הטובה ביותר לחיים? יסודי! מה עם הכפפות שלנו, כפפות? כולנו רגילים ללבוש אותם ואנחנו יודעים שאנחנו לא יכולים להפסיד, כי השני לא יכול להיות הרים ב זוג, כלומר, אנחנו צריכים לקנות את שניהם שוב. ולמה? בגלל המוצרים לזווג, אם כי סימטרי, אבל נועד ביד שמאל וימין. זוהי דוגמה טיפוסית לסימטריה של המראה. באשר לשוויון, אובייקטים כאלה מוכרים כ"שווי-מראה ".

ומה עם המרכז?

כדי לשקול את הסימטריה המרכזית להתחיל עם ההגדרה של תכונות הגוף, אשר ביחס אליו יש צורך להעריך את התופעה. כדי לקרוא לזה סימטרי, תחילה לבחור נקודה מסוימת הממוקם במרכז. לאחר מכן, לבחור נקודה (מותנית קוראים לזה א) ולחפש זוג (מותנה מסומן על ידי E).

כאשר קובעים את הסימטריה, הנקודות A ו- E מחוברות זו לזו בקו ישר שמלכוד את הנקודה המרכזית של הגוף. לאחר מכן, למדוד את הקו הישר שהתקבל. אם הקטע מנקודה A למרכז האובייקט שווה לפלח שמפריד בין המרכז לנקודה E, ניתן לומר כי נמצא מרכז סימטריה. סימטריה מרכזית במתמטיקה היא אחד המושגים המרכזיים המאפשרים פיתוח נוסף של התיאוריה של הגיאומטריה.

ואם אנחנו לסובב?

הבנת מה סימטריה היא במתמטיקה, אחד לא יכול להתעלם את הרעיון של תת סוג סיבוב של תופעה זו. כדי להבין את התנאים, לקחת גוף שיש לו נקודה מרכזית, וגם להגדיר מספר שלם.

במהלך הניסוי, הגוף נתון הוא הסתובב בזווית שווה לתוצאה של חלוקת 360 מעלות על ידי המדד כולו הנבחר. כדי לעשות זאת, אתה צריך לדעת מה הוא סימטריה ציר (בכיתה 2, מתמטיקה, תוכנית הלימודים). ציר זה הוא קו ישר המחבר בין שתי נקודות נבחרות. סימטריה של סיבוב ניתן לומר אם, בזווית הנבחר של סיבוב, הגוף יהיה באותו מיקום כמו לפני המניפולציות.

במקרה שבו נבחר המספר הטבעי 2, ותופעת הסימטריה מזוהה, נאמר כי סימטריה צירית במתמטיקה נקבעת. זה אופייני למספר דמויות. דוגמה טיפוסית: משולש.

על דוגמאות נוספות

הנוהג של שנים רבות של הוראה מתמטיקה וגיאומטריה בתיכון מראה כי הדרך הקלה ביותר להתמודד עם תופעת הסימטריה, להסביר את זה על דוגמאות ספציפיות.

ראשית, בואו נסתכל על הכדור. עבור תופעות כאלה סימטריה הגוף הן אופייניות בעת ובעונה אחת:

• המרכזית;
• מראה;
• סיבובית.

הנקודה העיקרית היא הנקודה הממוקמת בדיוק במרכז הדמות. כדי לאסוף מטוס, להגדיר מעגל גדול, כביכול, "לחתוך" אותו לשכבות. מה אומר המתמטיקה? סיבוב וסימטריה מרכזית במקרה של כדור הם מושגים הקשורים זה בזה, בעוד שקוטר הדמות ישמש ציר לתופעה הנדונה.

דוגמה נוספת היא קונוס עגול. נתון זה מאופיין בסימטריה צירית. במתמטיקה ובאדריכלות, התופעה הזאת מצאה יישום תיאורטי ומעשי רחב. הערה: ציר החרוט משמש ציר לתופעה.

הפריזמה הישירה מדגימה את התופעה הזאת בבירור. נתון זה מאופיין סימטריה המראה. המטוס נבחר כ"פרוסה "מקבילה לבסיסי הדמות, מרוחקים מהם במרווחים שווים. יצירת פרויקט גיאומטרי, תיאורי, אדריכלי (סימטריה מתמטית חשובה כמו מדעים מדויקים ותיאוריים), זוכרת את הישימות הלכה למעשה ואת התועלת של תכנון היסודות המרכיבים את תופעת הספולריות.

ואם דמויות מעניינות יותר?

מה יכול המתמטיקה לספר לנו על (כיתה 6)? סימטריה מרכזית אינה רק באובייקט פשוט ומובן כמו כדור. הוא מאפיין גם דמויות מעניינות ומורכבות יותר. לדוגמה, זוהי מקבילית. עבור אובייקט כזה, הנקודה המרכזית הופכת להיות זו שבה הצטלבו האלכסון שלה.

אבל אם ניקח בחשבון טרפז isosceles, אז זה יהיה דמות עם סימטריה צירית. אתה יכול לזהות את זה אם אתה בוחר את הציר הנכון. הגוף הוא סימטרי על קו מאונך לבסיס ו מצטלבים בדיוק באמצע.

הסימטריה במתמטיקה ובאדריכלות לוקחת בחשבון את המעוין. נתון זה ראוי לציון בכך שהוא משלב בו זמנית שני סוגים של סימטריה:

• צירית;
• מרכז.

כציר, עליך לבחור את האלכסון של האובייקט. במקום שבו מצטלבים באלכסון של המעוין, נמצא מרכז הסימטריה שלו.

על יופי וסימטריה

יצירת פרויקט למתמטיקה, שהסימטריה שלו תהיה נושא מפתח, מזכירה בראש ובראשונה את מילותיו החכמות של המדען הגדול וייל: "הסימטריה היא רעיון שאדם רגיל מנסה להבין במשך מאות שנים, משום שהוא יוצר יופי מושלם באמצעות סדר ייחודי".

כפי שאתה יודע, אובייקטים אחרים נראים היפים ביותר, בעוד אחרים להדוף, גם אם אין להם פגמים ברורים. למה זה קורה? התשובה לשאלה זו מראה את הקשר בין האדריכלות והמתמטיקה בסימטריה, שכן היא תופעה זו הופכת לבסיס להערכת הנושא כאטרקטי מבחינה אסתטית.

אחת הנשים היפות ביותר על הפלנטה שלנו היא מברשת העל של טרליקטון. היא בטוחה שההצלחה באה הודות לתופעה ייחודית: שפתיה סימטריות.

כידוע לך, הטבע נוטה לכיוון הסימטריה, ואינו יכול להשיג זאת. זה לא כלל כללי, אבל תסתכל על האנשים הסובבים: בפנים אנושיים, אין כמעט סימטריה מוחלטת, אם כי ברור הרצון לכך. ככל שהסימפטומים נראים יותר סימטריים, כך נראה יותר יפה.

כיצד הפכה הסימטריה לרעיון היפה

באופן מפתיע, הסימטריה מבוססת על תפיסתו של האדם את היופי של המרחב והחפצים שסביבו. במשך מאות שנים אנשים מנסים להבין מה יפה ומה דוחה חוסר משוא פנים.

סימטריה, פרופורציות - זה מה שעוזר לראות באופן ויזואלי אובייקט ולהעריך אותו באופן חיובי. כל האלמנטים, חלקים חייב להיות מאוזן בממדים סבירים אחד עם השני. זה כבר זמן רב נמצא כי אובייקטים אסימטריים כמו אנשים הרבה פחות. כל זה קשור למושג "הרמוניה". מעל למה זה כל כך חשוב לאדם, מאז ימי קדם אנשים חכמים, אמנים, אמנים יש מוחה המוח שלהם.

כדאי לבחון מקרוב את הדמויות הגיאומטריות, ותופעת הסימטריה תהיה ברורה ונגישה להבנה. התופעות הסימטריות האופייניות ביותר בחלל סביבנו:

• סלעים;
• פרחים ועלים של צמחים;
• איברים חיצוניים מותאמים הטבועים באורגניזמים חיים.

התופעות המתוארות הן המקור לטבע עצמו. אבל מה אתה יכול לראות סימטרי, לוקח מקרוב את המוצרים של הידיים של האדם? מתברר כי אנשים נמשכים ליצירתו של אדם כזה, אם הם רוצים לעשות משהו יפה או פונקציונלי (או שניהם, וגם את זה באותו זמן):

• דפוסי וקישוטים, פופולרי מאז ימי קדם;
• רכיבי בניין;
• אלמנטים של מבנים טכניים;
• תפירה.

על הטרמינולוגיה

"סימטריה" היא מילה שנכנסה לשפתנו מהיוונים הקדמונים, אשר לראשונה הקדישו תשומת לב רבה לתופעה זו וניסו לחקור אותה. המונח מציין נוכחות של מערכת כלשהי, כמו גם שילוב הרמוני של חלקים של האובייקט. מתרגמת את המילה "סימטריה", אתה יכול לבחור כמו מילים נרדפות:

• מידתיות;
• זהות;
• מידתיות.

מאז ימי קדם, סימטריה היא מושג חשוב להתפתחות האנושות בתחומים שונים וענפים. עמים מן העת העתיקה היו רעיונות משותפים על תופעה זו, בעיקר בהתחשב במובן הרחב. סימטריה פירושה הרמוניה ואיזון. כיום, אוצר המילים נלמד בבית ספר רגיל. לדוגמה, מהו ציר הסימטריה (דרגה 2, מתמטיקה) מסופר למורה על ידי המורה בכיבוש הרגיל.

כרעיון, תופעה זו הופכת לעתים קרובות להנחה הראשונית של השערות ותיאוריות מדעיות. זה היה פופולרי במיוחד במאות הקודמות, כאשר הרעיון של הרמוניה מתמטית הטבועה במערכת מאוד של היקום נשלט על כל העולם. מומחים של תקופות אלה היו משוכנעים כי סימטריה היא ביטוי של הרמוניה אלוהית. אבל ביוון העתיקה, הפילוסופים הבטיחו כי היקום כולו הוא סימטרי, וכל זה התבסס על ההנחה: "הסימטריה יפה".

יוון הגדולה וסימטריה

הסימטריה עוררה את דעתם של המדענים המפורסמים ביותר של יוון העתיקה. עד כה, היו עדויות כי אפלטון התקשר בנפרד להעריץ polyhedra הנכון. לדעתו, נתונים אלה הם ההתגלמויות של מרכיבי העולם שלנו. היה הסיווג הבא:

אלמנט	איור
אש	Tetrahedron, שכן העליון שלה נוטה השמים.
מים	Icosahedron. הבחירה היא בשל "סליל" של הדמות.
אייר	אוקטאהדרון.
כדור הארץ	האובייקט היציב ביותר, כלומר הקובייה.
היקום	הדודהדרון.

במובנים רבים דווקא בגלל תיאוריה זו נהוג לקרוא קבוע polhedic גופים polyhedra.

אבל המינוח הוכנס עוד קודם לכן, וכאן לא שיחק הפחות תפקידו של הפסל פוליקלט.

פיתגורס וסימטריה

בתקופה של חיי פיתגורס ומאוחר יותר, כשההוראה המשיכה לפרוח, ניתן להגדיר את תופעת הסימטריה בבירור. זה היה אז כי סימטריה היה נתון לניתוח מדעי, אשר נתן תוצאות חשובות לשימוש מעשי.

על פי הממצאים:

• הסימטריה מבוססת על מושגים של פרופורציות, מונוטוניות ושוויון. כאשר מושג מסוים מופר, הדמות הופכת פחות סימטרית, ונעשית בהדרגה לאסימטרית לחלוטין.
• יש 10 זוגות מנוגדים. על פי הדוקטרינה, הסימטריה היא תופעה הפוחתת להיפך אחד ובכך יוצרת את היקום כמכלול. הנחה זו במשך מאות שנים השפיעה רבות על מספר מדעים, הן מדויקים והן פילוסופיים, כמו גם טבעיים.

פיתגורס וחסידיו הבחינו "גופים סימטריים מובהקים", שאלה מסווגים להלן:

• כל פנים הוא מצולע;
• פנים נפגשים בפינות;
• הדמות חייבת להיות שווה זוויות וזוויות.

זה היה פיתגורס הראשון שאמר כי ישנם רק חמישה גופים כאלה. התגלית הגדולה הזו מסמנת את תחילתה של הגיאומטריה והיא חשובה ביותר לאדריכלות המודרנית.

ואתה רוצה להיות עדים לתופעה היפה ביותר של סימטריה? תפוס חורף פתית שלג. מוזר אבל נכון - זה חתיכת קרח זעירה נופל מהשמים לא רק מאוד מבנה הגבישי מורכב, אבל גם לגמרי סימטרי. קח את זה בזהירות: פתית השלג הוא באמת יפה, לרתק הקווים המתוחכמים שלה.