הפרשים - מה זה? איך למצוא את ההפרש של הפונקציה?

יחד עם נגזרים תפקידיהם הפרשים - זה כמה מהמושגים הבסיסיים של חשבון דיפרנציאלי, בקטע המרכזי של ניתוח מתמטי. קיים קשר בל ינותק, שניהם כמה מאות שנים בשימוש נרחבת בפתרון כמעט כל הבעיות שהתעוררו במהלך פעילות מדעית וטכנית.

הופעה של המושג של הפרש

בפעם הראשונה הבהירו כי ההפרש כזה, ממייסדי (יחד עם Isaakom Nyutonom) חשבון דיפרנציאלי המתמטיקאי הגרמני המפורסם גוטפריד Vilgelm Leybnits. לפני שמתמטיקאי המאה ה -17. בשימוש מאוד רעיון לא ברור ולא מעורפל של כמה "מאוחד" זעיר של כל פונקציה ידועה, מייצג ערך קבוע קטן מאוד אבל לא שווה לאפס, שמתחתיו ערכי הפונקציה לא יכולה להיות פשוט. מכאן זה היה רק צעד אחד כדי כניסתה של מושגים של במרווחים מזעריים של טיעוני פונקציה במרווחים שלהם של הפונקציות שיכולים לבוא לידי ביטוי במונחים של נגזרים של זה האחרון. וזה צעד זה ננקט כמעט בו זמנית המדענים הגדולים שני הנ"ל.

בהתבסס על הצורך לטפל בבעיות מכניקה מעשיות דחופות כי להתעמת מדע המתפתח במהירות תעשייה וטכנולוגיה, ניוטון ולייבניץ יצרו את הדרכים הנפוצות של מציאת הפונקציות של שיעור השינוי (במיוחד בכל הנוגע למהירות המכאנית של הגוף של המסלול הידוע), אשר הוביל ההקדמה של מושגים כאלה, כפונקציה נגזרת ואת ההפרש, וגם מצאה את פתרונות הבעיה ההפוכה אלגוריתם כמו (משתנה) ידוע כשלעצמו מהירויות חצו כדי למצוא את הנתיב שהוביל את המושג אינטגרלי עלא.

בעבודותיהם של הרעיון של לייבניץ וניוטון תחילה נראה כי ההפרשים - פרופורציונליים התוספת של הטיעונים הבסיסיים Δh מגדיל פונקציות Δu כי ניתן ליישם בהצלחה לחשב את הערך של זה האחרון. במילים אחרות, הם גילו כי פונקצית תוספת עשוי להיות בכל נקודה (בתוך תחום של הגדרתה) מתבטאת הן נגזרת שלה Δu = y "(x) Δh + αΔh שבו α Δh - והשאר, נוטה לאפס כפי Δh → 0, הרבה יותר מהר מאשר Δh בפועל.

לדברי מייסדי ניתוח מתמטי, ההפרשים - זה בדיוק המונח הראשון במרווחים של כל פונקציות. אפילו מבלי רצפי מושג גבול מוגדרים בבירור הם הבינו באופן אינטואיטיבי כי שווי ההפרש של הנגזר נוטה לתפקד כאשר Δh → 0 - Δu / Δh → y "(x).

בניגוד ניוטון, שהיה בעיקר פיזיקאי ומכשירים מתמטיים נחשבים ככלי עזר ללימוד בעיות פיסיות, לייבניץ הקדיש יותר תשומת לב Toolkit זה, כולל מערכת של סמלים חזותיים ומובנים ערכים מתמטיים. זה היה הוא איש שהציע את הכיתוב הרגיל של dy פונקצית הפרשים = y "(x) dx, DX, ואת הנגזרת של פונקצית הטיעון כפי היחסים שלהם y" (x) = dy / dx.

ההגדרה המודרנית

מהו ההפרש במונחים של המתמטיקה המודרנית? היא קשורה קשר הדוק למושג תוספת משתנה. אם המשתנה y לוקח הערך הראשון של y y = _1, אז y = y _2, ההבדל y ₂ y ─ ₁ נקרא y תוספת הערך. התוספת יכולה להיות חיובית. שלילי ואפס. המילה "תוספת" מיועד Δ, Δu הקלטה (לקרוא "דלתא y") מציין את הערך של y תוספת. כך Δu = y ₂ y ─ _1.

אם הפונקציה שרירותי Δu ערך y = f (x) רשאי להיות מיוצג כפי Δu = A Δh + α, כאשר A הוא לא התלות Δh, t. E. A = const עבור x נתון, ואת α לטווח כאשר Δh → 0 נוטה זה אפילו יותר מהר מאשר בפועל Δh, אז ( "המאסטר") הראשון מונח יחסי Δh, והוא עבור ההפרש y = f (x), מסומן dy או DF (x) (לקרוא "y דה", "דה EFF מ- X"). לכן הפרשים - ליניארי "ראשי" ביחס למרכיבי פונקציות במרווחי Δh.

הסבר מכני

בואו s = F (t) - המרחק בקו ישר זז לנקודה חומר מהעמדה הראשונית (t - זמן הנסיעה). תוספת Δs - הוא נקודת הדרך במהלך פרק זמן Δt, ואת ds ההפרש = f "(t) Δt - נתיב זה, אשר נקודה תוחזק עבור ובעונה Δt, אם זה שמר את המהירות f" (t), הגיע בזמן t . כאשר נתיב דמיוני Δt DS זעיר שונה Δs בפועל שיש זערורי צו גבוה ביחס Δt. אם המהירות על t הזמן אינה שווה לאפס, DS הערך המשוער נותן נקודת הטיה קטנה.

פרשנות גיאומטרית

תנו L קו זה את הגרף של y = f (x). אז Δ x = MQ, Δu = QM "(ראה. באיור למטה). משיק MN שוברת Δu לחתוך לשני חלקים, QN ו NM". בראש Δh היא מידתית QN = MQ ∙ TG (QMN זווית) = Δh f "(x), t. E QN הוא ההפרש dy.

החלק השני של ההבדל Δu NM'daet ─ dy, כאשר Δh → 0 NM אורך "פוחתת אפילו מהר יותר מאשר תוספת של הטיעון, כלומר יש לו את סדר הקוטן גבוה יותר Δh. במקרה זה, אם f "(x) ≠ 0 (לא במקביל משיק OX) מגזרים QM'i המקבילה QN; במילים אחרות NM "יורדת במהירות (סדר הקוטן שלה גבוה) מהתוספת הכולל Δu = QM". זה בא לידי ביטוי באיור (קטע מתקרב M'k M NM'sostavlyaet כל פלח" QM אחוז קטן יותר).

אז, בצורה גרפית דיפרנציאלית פונקציה שרירותית שווה תוספת של לתאם המשיק.

נגזר הפרש

גורם בטווח הראשון של פונקצית תוספת ביטוי שווה הערך של F הנגזרת שלה "(x). לפיכך, את הקשר הבא - dy = f '(x) Δh או DF (x) = f' (x) Δh.

זה ידוע כי התוספת של הטיעון העצמאי שווה ההפרש שלה Δh = DX. בהתאם לכך, אנו יכולים לכתוב: f "(x) dx = dy.

מציאה (אמר לפעמים להיות "ההחלטה") ההפרשים מבוצע על ידי אותם החוקים כמו עבור הנגזרים. רשימה אותם היא כדלקמן.

מה יותר אוניברסלי: תוספת של ויכוח או ההפרש שלה

כאן יש צורך לבצע כמה הבהרות. ייצוג ערך f "(x) הפרש Δh אפשרי כאשר בוחנים x כטיעון. אבל הפונקציה יכולה להיות מורכבת, שבו x יכול להיות פונקציה של t הטיעון. ואז הייצוג של ביטוי ההפרש של "f (x) Δh, ככלל, אי אפשר; למעט במקרה של תלות ליניארית x = ב B +.

באשר לנוסחא f "(x) dx = dy, אז במקרה של x טיעון העצמאי (אז DX = Δh) במקרה של התלות פרמטרית של x t, זה הפרש.

לדוגמה, הביטוי 2 x Δh הוא עבור y = x ² ההפרש שלה כאשר x הוא ויכוח. אנחנו עכשיו x = t ² ו להניח טיעון t. ואז y = x ² = T ^4.

זה ואחריו (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. לפיכך Δh = 2tΔt + Δt ^2. לפיכך: 2xΔh = 2T ² (2tΔt + Δt ^2).

ביטוי זה אינו מידתי Δt, ולכן הוא כעת 2xΔh לא דיפרנציאלית. ניתן למצוא אותו מן המשוואה y = x ² = T ^4. זהו dy שווה = 4T ³ Δt.

אם ניקח את 2xdx ביטוי, הוא y ההפרש = x ² עבור כל t טיעון. ואכן, כאשר x = t ² להשיג DX = 2tΔt.

אז 2xdx = 2T ² 2tΔt = 4T ³ .DELTA.t, t. .ה הפרשי ביטוי נרשמו על ידי שני משתנים שונים חופפים.

החלפת הפרשים במרווחים

אם f "(x) ≠ 0, אז Δu ושווי dy (כאשר Δh → 0); אם f "(x) = 0 (משמעות dy = 0), הם אינם שווי ערך.

לדוגמה, אם y = x ^2, אז Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² ו dy = 2xΔh. אם x = 3, אז אנחנו צריכים Δu = 6Δh + Δh ² ו dy = 6Δh כי שקולים בשל Δh ² → 0, כאשר x = 0 ערך Δu = Δh ² ו dy = 0 אינם שווי ערך.

עובדה זו, יחד עם המבנה הפשוט של ההפרש (m. ליניאריות E. ביחס Δh), משמשת לעתים קרובות חישוב משוער, על ההנחה כי dy ≈ Δu עבור קטן Δh. מצא את פונקצית ההפרש היא בדרך כלל קלה יותר לחשב את הערך המדויק של התוספת.

לדוגמה, יש לנו קוביית מתכת עם קצה x = 10.00 ס"מ. על חימום קצה התארכו Δh = 0.001 ס"מ. איך V קוביית נפח גדל? יש לנו V = X ^2, כך DV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ בפברואר ¹⁰ 0/01 = 3 (ס"מ ^3). ΔV שווה ההפרש מוגברת DV, כך ΔV = 3 ס"מ ^3. חישוב מלא ייתן ³ ΔV = 10,01 ─ ¹⁰ במרץ = 3.003001. אבל התוצאה של כל הספרות חוץ האמינים הראשונים; ולכן, הוא עדיין צורך לעגל כלפי מעלה 3 ס"מ ^3.

ברור, גישה זו שימושית רק אם אפשר לאמוד את הערך הנחיל עם שגיאה.

פונקצית דיפרנציאלי: דוגמאות

בואו ננסה למצוא את ההפרש של הפונקציה y = x ^3, מציאת נגזרת. תנו לנו לתת טיעון תוספת Δu ולהגדיר.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

כאן, מקדם = 3x ² אינו תלוי Δh, כך בקדנציה הראשונה היא מידתית Δh, התאום השני 3xΔh Δh ² + ³ כאשר Δh → 0 יורד מהר יותר מהתוספת של הטיעון. כתוצאה מכך, חבר 3x ² Δh הוא ההפרש של y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² DX או ד (x ³⁾ = 3x ² DX.

שבו ד (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy כעת אנו מוצאים את הפונקציה y = 1 / x-ידי הנגזרת. ואז ד (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. לכן dy = ─ Δh / x ^2.

הפרשי פונקציות אלגבריות בסיסיות ניתן להלן.

חישובים משוערים באמצעות הפרש

כדי להעריך את הפונקציה f (x), ו שלה נגזר f "(x) x = a הוא לעתים קרובות קשה, אבל כדי לעשות את אותו הדבר בקרבת x = A אינו קל. ואז לבוא לעזרה של הביטוי המשוער

f (a + Δh) ו ≈ "(א) Δh + f (א).

זה נותן ערך משוער של הפונקציה ב במרווחים קטנים באמצעות ההפרש שלה Δh f "(א) Δh.

לכן, הנוסחא הזו נותנת ביטוי משוער עבור הפונקציה בנקודת הקצה של חלק באורך Δh כסכום מערכו בנקודת ההתחלה של החלק (x = א) ואת ההפרש באותה נקודת התחלה. דיוק של שיטת קביעת הערכים של הפונקציה הבאה מדגים את הציור.

עם זאת ידוע הביטוי המדויק הערך של הפונקציה x = a + Δh שנתן במרווחים סופית הנוסחה (או, לחילופין, הנוסחה של לגראנז)

f (a + Δh) ≈ f "(ξ) Δh + f (א),

איפה הנקודה x = a + ξ היא במרווח מ x = A ל- x = a + Δh, למרות המיקום המדויק שלה אינו ידוע. הנוסחא המדויקת מאפשרת להעריך את השגיאה של הנוסחא המשוערת. אם אנחנו שמים את הנוסחא לגראנז ξ = Δh / 2, אם כי היא מפסיקה להיות מדויקת, אבל נותנת, ככלל, גישה הרבה יותר טובה מאשר הביטוי המקורי מבחינת ההפרש.

נוסחאות הערכת שגיאה על ידי יישום ההפרש

מכשירי מדידה , באופן עקרוני, לא מדויק, ולהביא נתוני המדידה המתאימים השגיאה. הם מאופיינים על ידי הגבלת השגיאה המוחלטת, או, בקיצור, את שגיאת הגבול - החיובית, ברור העולה על השגיאה בערך מוחלט (או לכל היותר שווה את זה). הגבלת הטעות היחסית נקראת המנה המתקבלת מחלוקת אותו על ידי הערך המוחלט של הערך הנמדד.

בואו y הנוסחה המדויקת = f (x) פונקציה המשמשת vychislyaeniya y, אבל את הערך של x הוא תוצאת המדידה, ולכן מביא את השגיאה y. ואז, כדי למצוא את השגיאה המוחלטת הגבלת y │Δu│funktsii, באמצעות הנוסחה

│Δu│≈│dy│ = │ f "(x) ││Δh│,

איפה טיעון שגיאה שולית │Δh│yavlyaetsya. │Δu│ כמות חייבת להיות מעוגלת כלפי מעלה, כפי חישוב מדויק עצמה היא החלפה של תוספת על חישוב ההפרש.