Maclaurin ופירוק של כמה פונקציות

לימוד מתמטיקה מתקדמת צריכה להיות מודע לכך הסכום של סדרה חזקה בקטע של התכנסות של מספר לנו, הוא מספר רצוף ובלתי מוגבל של פעמי פונקציה מובחנת. נשאלת השאלה: האם אפשר להתווכח נתון כי f פונקציה שרירותי (x) - הוא הסכום של סדרה חזקה? כלומר, ובאילו תנאים F F-tions (x) יכול להיות מיוצג על ידי שורה כוח? חשיבותה של סוגיה זו היא כי ניתן להחליף כ F התאולוגי £ (x) הוא הסכום של התנאים הראשונים של סדרה חזקה, כי הוא פולינום. כזו פונקצית החלפה היא ביטוי פשוט למדי - פולינום - היא נוח בפתרון בעיות מסוימות ב ניתוח מתמטי, כלומר בפתרון אינטגרלים בעת חישוב משוואות דיפרנציאליות , וכו '...

הוא הוכיח, כי עבור כמה F-II f (x), שבה נגזרים של הצו (n + 1) ה- יצא ניתן לחשב, כולל האחרונה באזור (α - R; x ₀ + R) של α הנקודה x = נוסחה הוגנת היא:

נוסחה זו נקראת על שמו של המדען המפורסם ברוק טיילור. מספר הנגזר מקודמתה, נקרא סדרה Maclaurin:

כלל שמאפשר לייצר רחבה בסדרת Maclaurin:

1. לקבוע נגזרות של הראשון, שני, שלישי, ... סדר.
2. חשבתי אילו הם נגזרים ב- x = 0.
3. סדרת שיא Maclaurin עבור פונקציה זו, ולאחר מכן לקבוע את המרווח של התכנסות.
4. קביעת מרווח (-R; R), שבו החלק השיורי של הנוסחה Maclaurin

R _n (x) -> 0 עבור n -> אינסוף. אם קיימת כזו, זה הפונקציה f (x) חייבת להיות שווה לסכום של סדרת Maclaurin.

קח עכשיו סדרת Maclaurin עבור הפונקציות הבודדות.

לפיכך 1., הראשון להיות f (x) = ^{x e.} כמובן, כי המאפיינים שלהם כך F-Ia יש נגזר מגוון של הזמנות, ו- F ^{(k) (x)} = e ^x, כאשר k שווה כל המספרים הטבעיים. תחליף x = 0. אנו משיגים f ^{(k) (0)} = E ⁰ = 1, k = 1,2 ... בהתבסס על האמור לעיל, מספר ^x e זה יהיה כדלקמן:

סדרת 2. Maclaurin עבור הפונקציה f (x) = x חטא. מיד לציין כי F-tions לכל נגזרים ידוע יצטרך, מלבד f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{ו' "(x)} = -sin x = sin (x + 2 * N / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), כאשר k שווה כל מספר שלם חיובי. כלומר, ביצוע חישובים פשוטים, אנו יכולים להסיק כי הסדרה עבור f (x) = x החטא יהיה ככה:

3. עכשיו בואו נחשוב-F F iju (x) = x cos. זה ידוע לכל הנגזרות של סדר שרירותי, ו ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... שוב, זה שעשה כמה חישובים, אנו מוצאים כי הסדרה עבור f (x) = cos x ייראה כך:

אז, יש לנו ברשימת התכונות החשובות ביותר כי ניתן להרחיב בסדרת Maclaurin, אבל הם משלימים את סדרת טיילור עבור פונקציות מסוימות. עכשיו נציין אותם גם כן. כמו כן יש לציין כי סדרת טיילור וסדרות Maclaurin הן חלק חשוב של סדרת הסדנה של החלטות במתמטיקה גבוהה. אז, סדרת טיילור.

1. הראשונה היא סדרת F F-II (x) = ln (1 + x). כמו בדוגמה הקודמת, עבור F שאנחנו זו (x) = ln (1 + x) ניתן לקפל מספר, באמצעות הצורה הכללית של הסדרה Maclaurin. אך כדי שהתכונה Maclaurin ניתן להשיג הרבה יותר קל. שילוב סדרה גיאומטרית, נקבל מספר עבור f (x) = ln (1 + x) של המדגם:

2. וגם את השני, אשר יהיו סופי במאמר זה, יהיה סדרה עבור f (x) = x arctg. עבור x השייכים המרווח [-1; 1] הוא פירוק תקף:

זה הכל. במאמר זה שסקרתי את סדרת טיילור הנפוצה ביותר ומקלורן במתמטיקה גבוהה, בעיקר במכללות הכלכליות וטכניות.