היווצרות, חינוך ובתי ספר תיכוניים
מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות. מערכת הומוגנית של משוואות ליניאריות אלגבריים
בבית הספר, כל אחד מאיתנו למד את המשוואה, בהחלט, מערכת של משוואות. אבל לא הרבה אנשים יודעים כי יש מספר דרכים לפתור אותן. היום אנחנו נראים בדיוק כל שיטות לפתרון מערכת של משוואות ליניאריות אלגבריים, אשר מורכבות יותר משתי משוואות.
סיפור
היום אנו יודעים כי האמנות של פתרון משוואות ומערכות שלהם מקורו עתיק בבל ומצרים. עם זאת, שוויון בצורתם המוכרת נראה לנו לאחר קרות סימן השוויון "=", אשר הוצג בשנת 1556 על ידי שיא מתמטיקאי אנגלי. אגב, סמל זה נבחר מסיבה: זה אומר שני מקטעים מקבילים שווים. ואכן, הדוגמא הטובה ביותר של שוויון אינה לבוא.
מייסד כיתוב מודרני סימנים של ובמידה ידועה, המתמטיקאי הצרפתי Fransua וייט. עם זאת, וייעודה שונה משמעותית מהיום. לדוגמה, ריבוע של מספר לא ידוע הוא שקבע Q מכתב (LAT "quadratus".), ואת קיוב - (. רוחב "CUBUS") במכתב C. סימנים אלה עכשיו נראים לא נוחים, אבל אז זה היה בדרך אינטואיטיבית ביותר להתחיל בכתיבת מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות.
עם זאת, חסרון בשיטות הרווחות של פתרון היה כי מתמטיקאים נחשבו רק את השורשים החיוביים. אולי זה נובע מהעובדה ערכים שליליים אין שום יישום מעשי. כך או אחר, אבל הראשון להיחשב שורשים שליליים החלו לאחר המתמטיקה האיטלקית ניקולו טרטליה, ג'ירולמו קרדאנו ורפאל בומבלי במאה ה -16. מבט מודרני, השיטה העיקרית של פתרון משוואות ריבועיות (דרך המבחין) הוקם רק במאה ה -17 דרך יצירותיהם של דקארט וניוטון.
באמצע מתמטיקאי שוויצי המאה ה -18 גבריאל קרמר מצא דרך חדשה כדי להפוך את פתרון מערכות משוואות ליניאריות קלה. שיטה זו נקראה מאוחר יותר אחריו, ועד היום אנו משתמשים בו. אבל על שיטת הדיבורים של קרמר קצת מאוחר, אך לעת עתה נדון משוואות ליניאריות והפתרונות שלהם בנפרד מהמערכת.
משוואות ליניאריות
משוואות לינארית - המשוואה הפשוטה עם משתנה (ים). הם שייכים אלגבריים. משוואות לינארית כתובות בצורה הכללית כדלקמן: א 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... ו n * x n = b. הגשת טופס זה תצטרך בהכנת מערכות ומטריצות על.
מערכת של משוואות ליניאריות אלגבריים
ההגדרה של מונח זה היא: סט של משוואות שיש נעלם נפוץ והפתרון הכללי. בדרך כלל, בבית הספר הכל פתור מערכת עם שתיים או אפילו שלוש משוואות. אבל יש מערכות עם ארבעה או יותר רכיבים. בוא נראה קודם איך לכתוב אותם כך מאוחר זה היה נוח לפתור. ראשית, מערכת של משוואות ליניאריות אלגבריים ייראה טוב יותר אם כל המשתנים נכתבים כפי x עם המדד המקביל: 1,2,3 וכן הלאה. שנית, היא צריכה להוביל את כל המשוואות אל הצורה הקנונית: א 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... ו n * x n = b.
לאחר כל הצעדים הללו, אנו יכולים להתחיל לספר לך איך למצוא את הפתרון של מערכות של משוואות ליניאריות. רבה כי תבוא מטריקס שימושי.
מטריקס
מטריקס - שולחן שמורכב שורות ועמודות, והאלמנטים שלה נמצאים בצומת שלהם. זה יכול להיות ערך או משתנה ספציפי. ברוב המקרים, כדי לייעד אלמנטים מסודרים מתחת התחתי (למשל, עובד היטב 11 או 23). המדד הראשון מציין את מספר השורה, והשני - את הטור. מטריצות מעל כאמור וכל אלמנט מתמטי אחר יכולות לבצע פעולות שונות. לכן, אתה יכול:
1) פחת ולהוסיף באותו הגודל של הטבלה.
2) כפל המטריצה לכל מספר או וקטור.
3) לשרבב: להפוך שורות מטריצה בעמודות, ואת העמודות - בתור.
4) כפל המטריצה, אם מספר השורות שווה אחד מהם מספר שונה של עמודות.
כדי לדון בפירוט את כל הטכניקות האלה, כפי שהם מועילים לנו בעתיד. חיסור או הוספה של מטריצות היא מאוד פשוט. מאז אנחנו לוקחים אותה המטריצה בגודל, כל רכיב של שולחן אחד קשור לכל גורם אחר. לכן נוסיף (לחסר) שני האלמנטים הללו (חשובים שהם עמדו על אותה קרקע המטריצות שלהם). בעת הכפלה במספר מטריקס או וקטור אתה פשוט להכפיל כל רכיב של מטריצה לפי מספר כי (או וקטור). טרנספוזיציה - תהליך מאוד מעניין. מאוד מעניין לפעמים לראות אותו בחיים האמיתיים, למשל, כאשר משנים את הכיוון של טאבלט או טלפון. הסמלים בשולחן העבודה הוא מטריצה, ועם שינוי התנוחה, היא משורבבת והופכים רחבה יותר, אך מקטין גובה.
הבה נבחן יותר בתהליך כגון כפל במטריצה. למרות שהוא אמר לנו, והוא לא שימושי, אבל להיות מודע זה עדיין שימושי. להכפיל שתי מטריצות יכולות להיות רק בתנאים שמספר העמודות בטבלה אחת שווה למספר שורות אחרות. עכשיו לקחת קו מטריקס אחד אלמנטים ואלמנטים אחרים של העמודה המתאימה. הכפל להם כל סכום אחר ולאחר מכן (דהיינו, למשל, מוצר של אלמנטים 11 ו 12 ו ב 12 B ו- 22 B יהיה שווה ל: א ב * 11 12 + 12 * b ו- 22). לפיכך, פריט שולחן אחד, בשיטה דומה הוא מלא יותר.
עכשיו אנחנו יכולים להתחיל לחשוב איך לפתור מערכות של משוואות ליניאריות.
גאוס
נושא זה החל להתקיים בבית הספר. אנחנו יודעים היטב את המושג "מערכת של שתי משוואות ליניאריות" ולדעת איך לפתור אותן. אבל מה אם מספר המשוואות גבוה משני? זה יעזור לנו שיטת גאוס.
כמובן, שיטה זו היא נוחה לשימוש, אם תבצע מטריקס של המערכת. אבל אתה לא יכול להמיר אותו ולהחליט על משלה.
אז, איך לפתור אותה על ידי מערכת של משוואות ליניאריות גאוס? אגב, למרות ששיטה זו ונקרא לו, אבל גילה שהוא בימי קדם. יש גאוס במבצע השתלטות עם המשוואות, בסופו של דבר לגרום למכלול לצורת דרג. כלומר, אתה צריך מלמעלה למטה (אם למקם בצורה נכונה) מן ראשון במשוואה האחרונה דעך אחד ידוע. במילים אחרות, אנחנו צריכים לוודא שיש לנו, אומרים, שלושה משוואות: הראשונה - שלושה אלמונים, בשנייה - שתיים השלישי - אחת. ואז, מן המשוואה האחרונה, אנו מוצאים הלא נודענו לראשונה, להחליף המערכה השנייה או המשוואה הראשונה ובהמשך למצוא את שני משתנים הנותרים.
נוסחת קרמר
עבור הפיתוח של טכניקה זו היא חיוני כדי להשתלט על המיומנויות של חיבור, חיסור של מטריצות, כמו גם את הצורך להיות מסוגל למצוא גורמים. לכן, אם לא נוח לך לעשות את כל זה או לא יודע איך, יש צורך ללמוד להיות מאומן.
מהי המהות של שיטה זו, וכיצד לעשות זאת, כדי לקבל מערכת של משוואות ליניאריות קריימר? זה פשוט מאוד. אנחנו צריכים לבנות מטריצה של מספרים (כמעט תמיד) את המקדמים של מערכת של משוואות ליניאריות אלגבריים. כדי לעשות זאת, פשוט לקחת את מספר הלא נודע, ואנחנו לארגן שולחן הסדר שהם רשומים במערכת. אם לפני מספר סימן "-", אז אנחנו כותבים מקדמים שליליים. אז, עשינו המטריצה הראשונה של המקדמים של הנעלמים, לא כולל את המספר לאחר סימן השוויון (כמובן, כי המשוואה צריכה להצטמצם בצורה הקנונית כאשר הנכון הוא רק מספר, ועל השמאל - כל נעלמים עם מקדמים). ואז אתה צריך לעשות כמה מטריצות - אחד עבור כל משתנה. לשם כך, במטריצה הראשונה מוחלף עמודה אחת כל מספרים בטור עם המקדמים לאחר סימן השוויון. לכן אנחנו מקבלים כמה מטריצות ולאחר מכן למצוא הגורמים שלהם.
לאחר שמצאנו מוקדם, זה קטן. יש לנו מטריצה ראשונית, ויש כמה מטריצות נגזרות, אשר מתאימות משתנים שונה. כדי לקבל פתרון מערכת, אנו מחלקים את הקובע של השולחן וכתוצאה על הקובע העיקרי של השולחן. הנתון שמתקבל הוא הערך של משתנה אחד. בדומה לכך, אנו מוצאים את כל הנעלמים.
שיטות אחרות
ישנן מספר שיטות על מנת לקבל את הפתרון של מערכות של משוואות ליניאריות. לדוגמה, שיטה שמכונה גאוס-ירדן, אשר משמש למציאת פתרונות של מערכת משוואות ריבועיות, וגם מתייחס לשימוש של מטריצות. יש גם שיטה יעקובי לפתרון מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות. הוא מסתגל בקלות לכל המחשבים משמש מחשוב.
במקרים מסובכים
מורכבות בדרך כלל מתרחשות אם מספר המשוואות הוא פחות מהמספר המשתנה. אז אנחנו בהחלט יכולים לומר כי, או המערכת אינה עולה בקנה אחד (כלומר, אין שורשים), או את מספר ההחלטות שלה נוטה לאינסוף. אם יש לנו במקרה השני - יש צורך לכתוב את הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינאריות. הוא יכלול לפחות משתנה אחד.
מסקנה
כאן אנו מגיעים לסוף. לסיכום: אנחנו צריכים להבין מה מטריצת המערכת, למדי למצוא את הפתרון הכללי של מערכת של משוואות ליניאריות. בנוסף שקלנו אפשרויות אחרות. אנחנו הבנו איך לפתור מערכות של משוואות ליניאריות: דירוג מטריצות ו נוסחא קרמר. דיברנו על מקרים קשים ודרכים אחרות של מציאת פתרונות.
למעשה, הנושא הזה הוא הרבה יותר נרחב, ואם אתה רוצה להבין טוב יותר את זה, אנחנו ממליצים לך לקרוא יותר של הספרות המקצועית.
Similar articles
Trending Now