מה ההסתברות המותנה וכיצד לחשב את זה בצורה נכונה?

לעתים קרובות בחיים אנו מתמודדים עם העובדה שאתה צריך להעריך את סיכויי ההתממשות איזה אירוע. כדאי לי לקנות כרטיס הגרלה או לא, מה יהיה בקומה השלישית הילד במשפחה, אם מחר מעונן עד גשם שוב - כגון הדוגמאות הן רבות מספור. במקרה הפשוט ביותר, את מספר התוצאות הטובות מחולק במספר הכולל של אירועים. אם כרטיס לוטו זוכה 10, וכן סך של 50, את הסיכוי לקבל פרס שווה 10/50 = 0.2, כלומר 20 מול 100. אבל מה לעשות במקרה יש מספר אירועים, והם קשורים באופן הדוק זה לזה? במקרה זה, אנו מעוניינים לא קל, ואת ההסתברות המותנית. איזה סוג של ערך ואיך זה יכול להיות מחושב - זה פשוט יהיה מכוסה במאמר זה.

רעיון

הסתברות מותנית - תופעת סיכוי של אירוע מסוים, ובלבד אירוע האחר הקשור אליו כבר קרה. קח דוגמא פשוטה של זריקת מטבע. כאשר תיקו לא היה שם, אז הסיכוי עץ או פלי נופל יהיה זהה. אבל אם המטבע חמש פעמים ברציפות הלך הזרועות מעלה לצפות להסכים -6, ה -7, ובעיקר החזרה ה -10 של תוצאה כזו יהיה הגיוני. עם כל הפסד זמן חוזר ונשנה של נשר, הסיכויים של זנבות גדלים, ובמוקדם או במאוחר זה עדיין ייפול.

הנוסחה של הסתברות מותנה

תנו לנו עכשיו להתמודד עם כמה ערך זה מחושב. נסמן B האירוע הראשון ואת השני דרך א אם את סיכויי התרחשות שונה מאפס, אז זה הוגן המשוואה הבאה:

P (A | B) = P (AB) / P (B), שבה:

• P (A | B) - סך של הסתברות מותנית;
• P (AB) - ההסתברות של שיתוף התרחשות של אירועים A ו- B;
• P (B) - ההסתברות של B. האירוע

מעט המרה לקבל את P היחס (AB) = P (A | B) * P (B). ואם אנחנו מיישמים שיטת האינדוקציה, אפשר להסיק את הנוסחה של המוצר ולהשתמש בו עבור מספר שרירותי של האירועים:

P (A _1, A _{2, 3,} ... A _n) = P (A ₁ | A ₂ ... A _n) * P (A ₂ | A ₃ ... A _n) * P ₍₃ | A ₄ ... A _n ) ... P _(n-1 | _n a) * P _(n).

תרגול

כדי לעשות את זה יותר קל להתמודד עם איך מותנית מחושב הסתברות של אירוע, לשקול כמה דוגמאות. נניח שיש בקערה שבה ישנם 8 7 שוקולדים מנטה. הם זהים בגודלם אקראי ברציפות הוציאו שניים מהם. מהם הסיכויים כי שניהם יהיו שוקולד? אנחנו מציגים את הכיתוב. ותן התוצאה כלומר השוקולד הראשון, בסך הכל ב - השוקולד המתוק השני. ואז אנחנו מקבלים את הדברים הבאים:

P (A) = P (B) = 8/15

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

קחו מקרה אחר. נניח שיש לך משפחה שני ילדים, ואנו יודעים כי לפחות ילד אחד היא ילדה. מה ההסתברות המותנית לכך בנים להורים אלה עדיין? כמו במקרה הקודם, בואו נתחיל עם סימון כלשהו. תנו P (B) - ההסתברות כי משפחה יש לפחות ילדה אחת, P (A | B) - ההסתברות שהילד השני הוא גם ילדה, F (AB) - הסיכוי כי משפחה בת שתי בנות. עכשיו אנחנו עושים את החישובים. לא יכול להיות 4 שילובים שונים של בנים ובנות ובאותו הזמן רק במקרה אחד (כאשר מש' שני בנים), בנות לא תהיינה בקרב הילדים. לכן, ההסתברות P (B) = 3/4 ו P (AB) = 1/4. ואז באי הנוסחא שלנו, אנחנו מקבלים:

P (A | B) = 1/4: 3/4 = 1/3.

לפרש את התוצאה יכולה להיות זו: אם אנחנו לא ידענו על b בתחום אחד מהילדים, הסיכויים של שתי ילדות יהיו 25 נגד 100. אבל מכיוון שאנו יודעים כי ילד הוא ילדה, את הסבירות כי אין בנים במש', גדלו עד אחד ג.