לינארית משוואות דיפרנציאליות הומוגניות של הצו הראשון. דוגמאות של פתרונות

אני חושב שאנחנו צריכים להתחיל עם ההיסטוריה של הכלי המתמטי המפוארת כמו משוואות דיפרנציאליות. כמו כל חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, משוואות אלה הומצאו על ידי ניוטון במאה ה -17 המאוחרות. הוא האמין שזה היה גילויו כך חשוב אפילו שההודעה המוצפנת, שכיום ניתן לתרגם כדלקמן: "כל חוקי הטבע שתואר על ידי משוואות דיפרנציאליות" זה אולי נראה מוגזם, אבל זה נכון. כל חוקי הפיזיקה, הכימיה, הביולוגיה, יכול להיות מתואר על ידי המשוואות הללו.

תרומה עצומה לפיתוח ויצירת התיאוריה של משוואות דיפרנציאליות יש המתמטיקה של אוילר לגראנז. כבר במאה ה -18 הם גילו ופיתחו מה עכשיו לומדת בבית קורסים הבכיר באוניברסיטאות.

אבן דרך חדשה בחקר משוואות דיפרנציאליות החלה הודות Anri Puankare. הוא יצר "התיאוריה האיכותית של משוואות דיפרנציאליות", אשר, בשילוב עם התיאוריה של פונקציות של משתנים מורכבים תרם משמעותית את היסודות של הטופולוגיה - הנושא של מדעי החלל ואת המאפיינים שלו.

מהן משוואות דיפרנציאליות?

אנשים רבים חוששים של הביטוי "משוואות דיפרנציאליות". עם זאת, במאמר זה נצא בפירוט את מהות כלי מתמטי מאוד שימושי זה, שהוא למעשה לא מסובך כמו שזה נראה מהסרט. על מנת להתחיל לדבר על משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, אתה חייב להכיר תחילה את המושגים הבסיסיים הקשורים באופן אינהרנטי עם הגדרה זו. ונתחיל עם ההפרש.

הפרש

אנשים רבים יודעים המונח הזה מאז התיכון. עם זאת, עדיין להתעכב על זה בפירוט. דמיינו את הגרף של הפונקציה. אנחנו יכולים להגדיל אותו במידה כזו שכל המגזר שלה הופכת בקו ישר. זה ייקח שתי נקודות כי הם לאין שיעור קרוב זה לזה. ההבדל בין הקואורדינטות שלהן (x או y) הוא על חוט השערה. וזה נקרא הפרש ותווים לייעד dy (הפרש של y) ו- DX (ההפרש של x). חשוב להבין כי ההפרש אינו הערך האולטימטיבי, וזה המשמעות ואת הפונקציה העיקרית.

ועכשיו אתה חייב לשקול את המרכיבים הבאים, נצטרך להסביר את מושג המשוואה דיפרנציאלית. זה - נגזר.

נגזר

כל אחד מאיתנו בוודאי שמעו בבית הספר הרעיון הזה. הם אומרים כי הנגזרת - הוא שיעור הצמיחה או הירידה של הפונקציה. עם זאת, הגדרה זו הופכת יותר מבלבלת. הבה ננסה להסביר את התנאי הנגזר של ההפרשים. בואו נחזור לפונקצית המרווח הזעירה עם שתי נקודות, אשר ממוקמות במרחק מינימאלי זה מזה. אבל אפילו מעבר לפונקצית המרחק הזה הוא זמן לשנות את הערך כלשהו. וכדי לתאר את השינוי ולהרכיב נגזרת שאחרת להיכתב כיחס של ההפרשים: f (x) "= DF / DX.

עכשיו יש צורך לשקול את המאפיינים הבסיסיים של הנגזר. ישנם רק שלושה:

1. סכום נגזר או ההבדל יכול להיות מיוצג כסכום או הפרש של הנגזרים: (a + b) '= א' + ב 'ו (ab)' = a'-ב".
2. המאפיין השני הוא מחובר עם כפל. יצירות נגזרות - היא סכום העבודות של פונקציה אחת נגזר אחר: (A * B) '= א' * b + a * b".
3. הנגזרת של ההבדל יכול להיות כפי שנכתב על פי הנוסחה הבאה: (a / b) '= (א' ב * * ba ") / b ^2.

כל התכונות הללו להיות שימושיות עבור מציאת פתרונות משוואות דיפרנציאלי של הצו הראשון.

כמו כן, ישנם נגזר חלקי. נניח שיש לנו פונקציה של z, אשר תלוי x משתנים ו- y. כדי לחשב את הנגזרת החלקית של פונקציה זו, למשל, ב x, אנחנו צריכים לקחת את y משתנית עבור קבוע וקל להבחין.

אינטגרלי

מושג חשוב אחר - נפרד. למעשה הוא ההפך של נגזרת. אינטגרל מספר סוגים, אבל הפתרונות הפשוטים ביותר של משוואות דיפרנציאליות, אנחנו צריכים הטריוויאלי ביותר אינטגרל לא אמיתי.

אז, מה הוא נפרד? נניח שיש לנו כמה יחסים f של x. אנחנו לוקחים ממנה את אינטגרלי ולקבל פונקציה F (x) (זה מכונה לעתים קרובות בתור פרימיטיבי), שהוא נגזרת של הפונקציה המקורית. לכן F (x) "= f (x). זה גם מרמז כי נפרד הנגזר שווה לפונקציה המקורית.

בשנת לפתרון משוואות דיפרנציאליות חשוב מאוד להבין את המשמעות והתפקוד של אינטגרל, מאז לעיתים קרובות צריכים לקחת אותם כדי למצוא פתרונות.

המשוואות הן שונות בהתאם לאופי שלהם. בפרק הבא נבחן סוגים של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, ולאחר מכן ללמוד כיצד לפתור אותן.

חוגים של משוואות דיפרנציאליות

"Diffury" מחולק סדר הנגזרות המעורבות בם. לפיכך קיים הראשון, שני, שלישי או יותר בסדר. הם יכולים גם להיות מחולקים לכמה כיתות: רגילות חלקית.

במאמר זה, נשקול את משוואות דיפרנציאליות רגילות של הצו הראשון. דוגמאות ופתרונות נדונו בסעיפים הבאים. אנחנו רואים רק את TAC כי זה הסוגים הנפוצים ביותר של משוואות. רגילות מחולקות תת-מין: עם משתנים נפרדים, הומוגניות והטרוגניות. הבא תלמדו איך הם נבדלים זה מזה, וללמוד כיצד לפתור אותן.

בנוסף, משוואות אלה ניתן לשלב, כך שלאחר שנקבל מערכת של משוואות דיפרנציאליות של ההזמנה הראשונה. מערכות כאלה, אנחנו גם להסתכל וללמוד כיצד לפתור.

למה אנחנו שוקלים את הסדר הראשון בלבד? בגלל זה הוא הכרחי כדי להתחיל עם פשוט לתאר את כל הקשורים משוואות דיפרנציאליות, במאמר אחד זה בלתי אפשרי.

משוואות עם משתנים נפרדים

זהו אולי משוואות דיפרנציאליות מהסדר הראשונות הפשוטות ביותר. אלו הן דוגמאות שיכולות להיות כפי שנכתב: y "= f (x) * f (y). כדי לפתור משוואה זו אנו צריכים את נוסחא הייצוג של הנגזר כיחס של ההפרשים: y "= dy / dx. עם זאת נקבל את המשוואה: dy / dx = f (x) * f (y). עכשיו אנחנו יכולים לפנות לשיטת פתרון דוגמאות סטנדרטי: להפריד בין משתנים בחלקים, כלומר מהר קדימה כל y משתנה בחלק שבו יש dy, וגם להפוך את x משתנה ... נקבל משוואה מהצורה: dy / f (y) = f (x) dx, אשר מושגת על ידי לקיחת אינטגרלים של שני החלקים. אל תשכח הקבוע כי אתה רוצה לשים אחרי האינטגרציה.

הפתרון של כל "diffura" - הוא פונקציה של x על ידי Y (במקרה שלנו), או אם קיים מצב מספרי, התשובה היא מספר. הבה נבחן דוגמה קונקרטית הקורס כולו של ההחלטה:

y "= 2Y * sin (x)

העברת משתנים בכיוונים שונים:

dy / y = 2 * sin (x) dx

עכשיו לקחת את אינטגרלים. כולם ניתן למצוא בטבלה מיוחדת של אינטגרלים. ואנחנו מקבלים:

LN (y) = -2 * cos (x) + C

אם נדרש, אנחנו יכולים להביע את "Y" כפונקציה של "X". עכשיו אנחנו יכולים לומר כי משוואה דיפרנציאלית שלנו נפתרת, אם לא צוין מצב. ניתן להגדיר מצב, למשל, y (n / 2) = e. אז אנחנו פשוט נחליף את הערך של המשתנים הללו ההחלטה ולמצוא את ערכו של הקבוע. בדוגמה שלנו, זה 1.

משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון הומוגנית

עכשיו אל החלקים המורכבים יותר. ניתן לכתוב משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון הומוגנית בצורה כללית כמו: y "= z (x, y). יצוין כי פונקציית תקין של שני משתנים הוא אחיד, וזה לא יכול להיות מחולק לשני תלוי: z x ו- z של y. בדוק אם המשוואה היא הומוגנית או לא, הוא פשוט למדי: אנו עושים את x * k החלפה x = ו- y = k * y. עכשיו אנחנו חותכים כל k. אם אותיות אלו ירד, אז המשוואה הומוגנית וניתן להמשיך לפתרונה בבטחה. במבט קדימה, אנו אומרים: העיקרון של הפתרון של דוגמאות אלה הוא גם מאוד פשוט.

אנחנו צריכים לבצע את ההחלפה: t = y (x) * x, כאשר t - פונקציה כי גם תלוי x. ואז נוכל להביע את הנגזרת: y '= t' (x) * x + t. החלפת כל זה לתוך המשוואה המקורית שלנו ולפשט אותו, יש לנו את הדוגמה של הפרדת משתנים t כמו x. לפתור את זה ולקבל את התלות של t (x). כאשר יש לנו את זה, פשוט להחליף ההחלפה הקודמת שלנו y = t (x) * x. ואז נקבל את התלות של y על x.

כדי לעשות את זה ברור יותר, נבין דוגמה: x * y "= yx * דואר y / x.

כאשר בודקים את החלפת כל ירידה. אז, המשוואה היא באמת הומוגנית. עכשיו לעשות החלפה נוספת, דיברנו על: t = y (x) * x ו- y '= t' (x) * x + t (x). לאחר פישוט המשוואה הבאה: t "(x) * x = -e t. אנחנו מחליטים לקחת דגימה עם משתנים מופרדים אנחנו ^{מקבלים: e -t = ln (* C} x). אנחנו פשוט צריכים להחליף t ידי y / x (כי אם y = x * t, ואז t = y / x), ואנחנו מקבלים את ^{התשובה: דואר -y / x = ln (} * x ג).

משוואה דיפרנציאלית לינארית של הצו הראשון

הגיע הזמן לשקול אחר נושא רחב. נבדוק משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון הטרוגנית. כיצד הם נבדלים השניים הקודמים? בואו נודה בזה. משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון לינארי בצורה הכללית של המשוואה יכולות להיות כתובות כך: y "+ g (x) * y = z (x). יובהר כי z (x) ו- g (x) עשוי להיות ערכים קבועים.

הנה דוגמה: y "- y * x = x ^2.

ישנן שתי דרכים לפתור, ואנחנו מזמינים הבה נבחן את שניהם. הראשון - שיטת וריאציה של קבועים שרירותיים.

כדי לפתור את המשוואה באופן זה, יש צורך להשוות את הצד הימני הראשון לאפס, ולפתור את המשוואה וכתוצאה אשר לאחר העברת החלקים הופכת:

y "= y x *;

x * dy / dx = y;

dy / y = xdx;

LN | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * דואר ^{x2 / 2.}

עכשיו יש צורך להחליף את C ₁ מתמדת על נ הפונקציה (x), אשר נגלה.

y = e * נ ^{x2 / 2.}

צייר נגזר תחליף:

^{y '= נ' * דואר x2} / ² -x * נ * דואר ^{x2 / 2.}

מחליף ביטויים אלה לתוך המשוואה המקורית:

נ "* דואר ^{x2 / 2} - x * e * נ ^{x2 / 2} + x * e * נ ^{x2 / 2} = x ^2.

ניתן לראות כי בצד השמאלי של שתי קדנציות מופחתות. אם חלק למשל זה לא קרה, אז עשית משהו לא בסדר. אנו ממשיכים:

נ "* דואר ^{x2 / 2} = x ^2.

עכשיו אנחנו לפתור את המשוואה הרגילה שבה אתה רוצה להפריד את המשתנים:

DV / DX = x ^{2 /} E ^x2 / ^2;

DV = x ² * דואר ^{- x2 / 2} DX.

כדי להסיר את אינטגרלי, אנחנו צריכים ליישם את השילוב על ידי חלקים כאן. עם זאת, זה לא הנושא של מאמר זה. אם אתה מעוניין, אתה יכול ללמוד בכוחות עצמם לבצע פעולות כאלה. זה לא קשה, ועם מספיק מיומנות וטיפול הוא לא זמן רב.

בהתייחסו לשיטת שני הפתרון של משוואות הומוגניות: השיטה ברנולי. מה הגישה הוא מהיר וקל יותר - זה תלוי בך.

אז, כאשר בפתרון שיטה זו, אנו צריכים לבצע את ההחלפה: n * y = k. הנה, K ו- n - כמה פונקציות תלויות x. ואז נגזרת ייראה: y '= k' * n + k * n". שתי החלפות תחליף במשוואה:

k '* N * N + K ' + x * * k n = x ^2.

קבוצה עד:

k '* n + * k ( n' + x * n) = x ^2.

עכשיו יש צורך לְאַפֵּס, כי הוא בסוגריים. עכשיו, אם אתה משלב את שתי משוואות וכתוצאה, נקבל מערכת של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון כדי להיפתר:

n "+ x * n = 0;

*" K n = x ^2.

השוויון הראשון להחליט כיצד המשוואה הרגילה. כדי לעשות זאת, אתה צריך להפריד את המשתנים:

DN / DX = x * נ;

DN / n = xdx.

אנחנו לוקחים את אינטגרליים נקבל: ln (n) = x ^2/2. ואז, אם אנו מביעים n:

n = e ^{x2 / 2.}

עכשיו להחליף את המשוואה שנוצרה לתוך המשוואה השנייה:

^x2 E *" יא ^{/ 2} = x ^2.

והפיכה, נקבל את אותה המשוואה כמו בשיטה הראשונה:

dk = x ^{2 /} E ^x2 / ^2.

אנחנו גם לא לדון בפעולה נוספת. הוא אמר כי על משוואות דיפרנציאליות מסדר הראשון ראשונות פתרון גורם לקשיים ניכרים. עם זאת, טבילה עמוקה בנושא מתחילה להשתפר עוד ועוד.

איפה הן משוואות דיפרנציאליות?

משוואות דיפרנציאליות פעיל מאוד בשימוש בפיזיקה, כמו כמעט כל חוקי היסוד כתובים בצורה דיפרנציאלית, ונוסחאות אלו, שאנו רואים - פתרון משוואות אלה. בכימיה, הם משמשים מאותה הסיבה: חוקי היסוד נגזרים דרכם. בביולוגיה, משוואות דיפרנציאליות משמשות מודל ההתנהגות של מערכות, כגון טורף - הטרף. הם יכולים לשמש גם כדי ליצור מודלים של רבייה, למשל, מושבות של מיקרואורגניזמים.

כמו משוואות דיפרנציאליות לעזור בחיים?

התשובה לשאלה זו היא פשוטה: שום דבר. אם אתה לא מדען או מהנדס, אין זה סביר כי הם יהיו שימושיים. עם זאת, לא יזיק לדעת מה המשוואה הדיפרנציאלית והוא פתר לפיתוח הכולל. ואז השאלה של בן או בת, "מה משוואות דיפרנציאליות?" לא לשים אותך למבוי סתום. ובכן, אם אתה מדען או מהנדס, אז אתה יודע את החשיבות של הנושא הזה בכל מדע. אבל הכי חשוב, כי עכשיו לשאלה "איך לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית של הצו הראשון?" אתה תמיד תוכל לתת תשובה. מסכים, זה תמיד נחמד כשאתה מבין מה אנשים הם אפילו מפחדים לגלות.

הבעיות העיקריות במחקר

הבעיה העיקרית בהבנת הנושא הזה הוא הרגל רע של פונקציות אינטגרציה וגזירה. אם לא נוח לך נוטל נגזרים אינטגרלים, זה כנראה שווה יותר ללמוד, ללמוד שיטות שונות של אינטגרציה וגזירה, ורק אז להמשיך בלימוד החומר כי תוארה במאמר.

אנשים מופתעים לגלות כי DX ניתנת להעברה, כמו בעבר (בשנת הלימודים) טען כי השבר dy / dx אינה ניתנת לחלוקה. אז אתה צריך לקרוא את הספרות על הנגזרות ולהבין שזה היחס של כמויות קטנות לאין שיעור, אשר ניתן להשפיע בפתרון משוואות.

אנשים רבים מייד לא מבינים שהפתרון של משוואות דיפרנציאליות של ההזמנה הראשונה - זו היא לעתים קרובות פונקציה או neberuschiysya נפרד, ואת האשליה הזאת נותנת להם הרבה צרות.

מה עוד ניתן ללמוד להבין טוב יותר?

עדיף להתחיל טבילה נוספת לתוך העולם של חשבון דיפרנציאלי של ספרי לימוד מיוחדים, למשל, בניתוח מתמטי לסטודנטים של מאכלים שאינם מתמטיים. לאחר מכן תוכל לעבור בספרות המקצועית יותר.

הוא אמר כי, בנוסף ההפרש, ישנם עדיין משוואות אינטגרליות, כך שתמיד יהיה לכם משהו לשאוף ומה ללמוד.

מסקנה

אנו מקווים כי לאחר קריאת מאמר זה תוכלו לקבל מושג על מה משוואות דיפרנציאליות וכיצד לפתור אותן בצורה נכונה.

בכל מקרה, מתמטיקה בכל דרך שימושית לנו בחיים. היא מפתחת ההיגיון ותשומת לב, שבלעדיו כל אדם, באשר בלי ידיים.