טור גיאומטרי. דוגמא ההחלטה

קח ברציפות.

7 28 112 448 1792 ...

די בבירור מראה כי הערך של כל מרכיביו יותר מארבע פעמים בדיוק הקודמת. אז, הסדרה הזו היא התקדמות.

טוּר הַנדָסִי קראו רצף של מספרים אינסופיים, התכונה של אשר העיקרית היא כי המספר הבא מתקבל מן האמור לעיל על ידי כפל כמה מספר מובהק. זה בא לידי ביטוי על ידי הנוסחה הבאה.

_{בעלת ערך z 1 = a z · q} , כאשר Z - מספר האלמנט הנבחר.

בהתאם לכך, z ∈ N.

זמן כאשר הספר הוא למד טור גיאומטרי - כיתה ה -9. דוגמאות יעזור להבין את המושג:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 בפברואר 6 ...

בהתבסס על נוסחה זו, ההתקדמות של המכנה ניתן למצוא כדלקמן:

אף q, או ב _Z לא יכול להיות אפס. כמו כן, כל האלמנטים של סדרת מספרים התקדמות לא צריך להיות אפס.

לפיכך, כדי לראות את המספר הבא של מספר, להכפיל האחרון ידי q.

כדי להגדיר התנהלות זו, עליך לציין את האלמנט הראשון של אותו ואת המכנה. אחרי זה אפשר למצוא באף אחד החברים הבאים ובכימותן.

מינים

בהתאם q ו _1, התקדמות זו נחלקת לכמה סוגים:

• אם _1, ו q גדול מאחד, אז רצף - הגדלה עם כל רכיב רצוף של טור גיאומטרי. דוגמאות בהם הינם כמפורט להלן.

דוגמא: ₁ = 3, q = 2 - גדול יותר אחדות, הוא הפרמטרים.

ואז רצף של מספרים יכול להיות כפי שנכתב:

3 6 12 24 48 ...

• אם | q | פחות מאחוז אחד, כלומר, זה שווה כפל ידי חלוקה, ההתקדמות עם תנאים דומים - יורד הנדסי. דוגמאות בהם הינם כמפורט להלן.

דוגמה: ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ גדול מאחד, q - פחות.

ואז רצף של מספרים יכול להיכתב כדלקמן:

ביוני 2 2/3 ... - כל אלמנט יותר המרכיבים הבאים זה, הוא 3 פעמים.

• לסירוגין. אם q <0, הסימנים של המספרים של חילופין רצף הזמן ללא קשר _1, ואת האלמנטים של עלייה או ירידה.

דוגמא: ₁ = -3, q = -2 - הם פחות מאפס.

ואז רצף של מספרים יכול להיות כפי שנכתב:

3, 6, -12, 24, ...

הנוסחה

לשימוש נוח, יש סדרה הנדסית רבה של הנוסחות:

• z-ה לטווח פורמולה. זה מאפשר החישוב של האלמנט מספר מסוים ללא חישוב המספרים הקודמים.

דוגמא: q = 3, a = ₁ 4. נדרש לחשב התקדמות היסוד רביעית.

פתרון: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• סכום האלמנטים הראשונים, שמספרם שווה z. זה מאפשר חישוב של סכום כל האלמנטים ברצף עד _z כלול.

≠ 0, ובכך, q הוא לא 1 - (q 1) מאז (1- q) הוא במכנה, אז.

הערה: אם q = 1, אזי ההתקדמות היה מיוצג מספר חוזר המספר בלי הסוף.

דוגמאות כמות אקספוננציאלית: א ₁ = 2, q = -2. חישוב S _5.

פתרון: S ₅ = 22 - נוסחת החישוב.

• הסכום אם | q | <1 וכאשר z נוטה לאינסוף.

דוגמה: ₁ = _2, q = 0.5. מצא את הסכום.

פתרון: S _z = 2 x = 4

אם אנו מחשבים את הסכום של מספר חברים במדריך, אתה תראה שזה אכן מחויב לארבעה.

S _z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0125 + 0.0625 = 3.9375 4

כמה מאפיינים:

• מאפיין מאפיין. אם התנאי הבא היא מחזיקה עבור כל z, אז קיבל סדרה מספרית - טור גיאומטרי:

א _'ת' ² = A _{z -1} · בעלת ערך _{z + 1}

• זהו גם רבועים של כל מספר הוא אקספוננציאלי באמצעות תוספת של הריבועים של שני מספרים אחרים בכל שורה נתונה, אם הם במרחק שווה מן היסוד.

² בעלת ערך _z = a _{z - t} ² ₊ a _z + _t ² כאשר t - המרחק בין המספרים האלה.

• האלמנטים השונים על ידי פעמים q.
• הלוגריתמים של האלמנטים של התקדמות, כמו גם ליצור התקדמות, אבל האריתמטיקה, כלומר, כל אחד מהם יותר מקודמתה ידי מספר מסוים.

דוגמאות של כמה בעיות קלאסיות

כדי להבין טוב יותר מה טור גיאומטרי, עם דוגמאות ההחלטה לכיתה 9 יכול לעזור.

• תנאי שימוש באתר: א ₁ = 3, A Q מצא ₃ = 48..

פתרון: כל רכיב רצוף יותר q הקודם זמן. יש צורך לבטא כמה אלמנטים באמצעות אחרים באמצעות מכנה.

כתוצאה מכך, ₃ = q ² · ₁

כשמחליפים q = 4

• תנאי: א ₂ = 6, a = ₃ 12. חישוב S _6.

פתרון: כדי לעשות זאת, זה מספיק כדי למצוא q, הרכיב הראשון תחליף לתוך הנוסחה.

₃ = q · _2, וכתוצאה מכך, q = 2

₂ = q · A _1, כך a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. מצא את האלמנט הרביעי של התקדמות.

פתרון: זה מספיק כדי להביע את האלמנט הרביעי הדרך הראשונה ודרך המכנה.

₄ ³ = q · a = ₁ -80

לדוגמא יישום:

• לקוח הבנק תרם הסכום של 10,000 רובל, לפיו בכל שנה ללקוח את סכום הקרן יתווסף 6% ממנה אף. כמה כסף הוא בחשבון לאחר 4 שנים?

פתרון: הסכום הראשוני בסך של 10 אלף רובל. אז, כשנה לאחר השקעות החשבון תהיה בסכום השווה ל 10,000 + 10,000 = 10,000 · 0.06 · 1.06

לפיכך, הסכום בחשבון גם לאחר שנה אחת תתבטא כדלהלן:

(10,000 · 1.06) · 10,000 · 0.06 + 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10,000

כלומר, בכל שנה את הסכום גדל ל 1.06 פעמים. לפיכך, כדי למצוא את המספר של החשבון לאחר 4 שנים, זה מספיק כדי למצוא התקדמות יסוד רביעית, אשר ניתן אלמנט ראשון שווה 10 אלף, ואת המכנה שווה 1.06.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10,000 = 12,625

דוגמאות של בעיות בחישוב הסכום:

בשנת בעיות שונות באמצעות סדרה הנדסית. דוגמא מציאת הסכום ניתן להגדיר כדלקמן:

₁ = 4, q = 2, לחשב S _5.

פתרון: כל הנתונים הדרושים לצורך חישוב ידועים, פשוט להחליף אותם לתוך הנוסחה.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, a = ₃ 18. חישוב הסכום של ששת האלמנטים הראשונים.

פתרון:

Geom. ההתקדמות של כל אלמנט של הגדול הבא מאשר הפעמים הקודמות q, כלומר, כדי לחשב את הסכום שאתה צריך לדעת את האלמנט q ₁ והמכנה.

₂ · q = a ₃

q = 3

בדומה לכך, הצורך למצוא _1, q ₂ ולדעת.

₁ · q = a ₂

₁ = 2

ואז זה מספיק כדי להחליף את הנתונים הידועים לתוך כמות הנוסחה.

S ₆ = 728.